第11讲 第一章 空间向量与立体几何 章末重点题型大总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第11讲 第一章 空间向量与立体几何 章末题型大总结 一、思维导图 ( 空间向量与立体几何 空间向量及其运算 空间向量在立体几何中的应用 空间向量的线性运算 空间向量的基本定理 两个向量的数量积 空间向量的直角坐标运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量分解定理 平行与垂直的条件 直线的方向向量与直线的向量方程 平面的法向量与平面的向量表示 直线与平面的夹角 二面角及其度量 距离 ) 二、题型精讲 题型01空间向量的概念及运算 【典例1】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则（    ） A． B．2 C． D．10 【典例2】（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求 (1)；(2)． 【典例3】（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________． 【变式1】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，设，，是的中点．试确定向量在平面上的投影向量，并求． 【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为_________． 题型02四点共面问题 【典例1】（多选）（2023春·高二课时练习）下列条件中，使与，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023春·高二课时练习）在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，直线交直线于点，直线交直线于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二统考期末）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型03平面法向量的求解 【典例1】（2023春·高二课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知空间四点，，，．求平面的一个法向量为__________； 【变式1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）空间直角坐标系中，已知点，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·全国·高二专题练习）平面经过，且垂直于法向量为的一个平面，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 题型04利用空间向量证明平行、垂直关系 【典例1】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）如图，在三棱柱中，平面．，，分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交且不垂直 【典例2】（多选）（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在正方体中，是线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【典例3】（2023春·高二课时练习）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面. 【典例4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论． 【变式1】（2023春·高二课时练习）在正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．平面 B．异面直线与所成的角为30° C．平面平面 D．平面平面 【变式2】（多选）（2023春·高二课时练习）如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且分别为的中点，则下列选项中不正确的有（    ） A． B．平面 C． D．平面 【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)在侧面内找一点，使平面． 【变式4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且． (1)求证：直线平面； (2)若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由． 题型05异面直线所成角 【典例1】（2023春·贵州·高二贵州师大