第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法，5类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法） 一、知识点归纳 1、（传统法）核心技巧：平移使相交 具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角 2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则 ① ②. 二、题型精讲 题型01求异面直线所成角（定值）(传统法） 【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）在平行六面体中，底面是菱形，，与底面垂直，，分别在和上，且，，，，则异面直与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（2023春·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【典例3】（2023春·河南开封·高一河南省杞县高中校考阶段练习）正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值为______．    【变式1】（2023春·吉林四平·高一校考阶段练习）在三棱柱中，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023春·河南郑州·高一河南省新郑市第一中学校考阶段练习）如图，是半圆柱底面的直径，是半圆柱的高，是上一点，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．    题型02求异面直线所成角（定值）(向量法） 【典例1】（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，四边形为菱形，，，，且平面，四边形是正方形，则______；异面直线与所成角的余弦值为______． 【变式1】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）如图所示，已知正方体，，分别是正方形和的中心，则和所成的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023春·浙江·高一期中）已知直三棱柱的侧棱与底面边长都相等，，分别是和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________． 题型03易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围 【典例1】（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，=λ，若异面直线和所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，将的菱形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）在四面体中，为正三角形，平面，且，若，，则异面直线和所成角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 题型04求异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（2023·辽宁大连·校考模拟预测）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，是的中点，点是上一点，2，，动点在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线与所成角的正切值的最小值为_________. 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是______；直线与直线所成角的取值范围为______. 【变式1】（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预