第24章 专项8　解直角三角形问题的热点模型-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测配套PPT课件（华东师大版）

数学 第24章　解直角三角形 专项8　解直角三角形问题的热点模型  ⁠⁠“单一”型三角形 ⁠ ⁠图①是一辆吊车的实物图，图②是其示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4 m.当起重臂AC的长度为9 m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度.（结果精确到0.1 m.参考数据：sin 28°≈0.47， cos 28°≈0.88， tan 28°≈0.53） 1题图①　　1题图② 解：如答图，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F. 易得四边形AHEF为矩形， ∴EF＝AH＝3.4 m.∠HAF＝90°， ∴∠CAF＝∠CAH－∠HAF ＝118°－90°＝28°. 在Rt△ACF中.∵sin∠CAF＝， ∴CF＝9·sin 28°≈9×0.47＝4.23（m）. ∴CE＝CF＋EF≈4.23＋3.4≈7.6（m）. 答：操作平台C离地面的高度约为7.6 m. 1题答图  ⁠⁠“母子”型三角形 ⁠ ⁠（湖北十堰郑阳模拟）如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为45°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为60°（A、B、C三点在一条直线上），则建筑物CD的高度为（　B　） 2题图 B A.（15＋15 ）米 B.（45＋15 ）米 C.（15 －15）米 D.（45－15 ）米 [解析]由题意可得AB＝30米，∠A＝45°，∠DBC＝60°.在Rt△BCD中，设BC＝x米，则tan∠DBC＝tan 60°＝＝＝，解得CD＝x米.在Rt△ACD中，AC＝（30＋x）米，∠A＝45°，则CD＝AC，即x＝30＋x，解得x＝15（＋1），∴CD＝15（＋1）×＝（45＋15 ）米，故选B. ⁠（广东广州越秀模拟）如图，睿智数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河边沿着与AB平行的直线l2取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1，l2之间的距离CE为50 m，则古树A、B之间的距离为 　　⁠m.（结果保留根号）  3题图 [解析]在Rt△ACE中，CE＝50 m，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝50 m.∵∠ACB＝15°， ∴∠BCE＝30°.在Rt△BCE中，CE＝50 m，∴BE＝CE·tan 30°＝（m），∴AB＝AE－BE＝ m. ⁠（广西梧州中考）去年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB.如图，在平面内，点B、C、D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB＝52°，∠ADB＝60°，CD＝200 m，求AB的高度.（精确到1 m.参考数据： sin 52°≈0.79，cos 52°＝0.62，tan 52°≈1.28，≈1.73） 4题图 解：设AB＝x m.在Rt△ABC中， ∵tan∠ACB＝，∴tan 52°＝， ∴BC≈.在Rt△ABD中， ∵tan∠ADB＝，∴tan 60°＝. ∴BD＝≈.∵CD＝CB－DB， ∴－＝200，解得x≈984. ∴AB的高度约为984 m.  ⁠⁠“背靠背”型三角形 ⁠ ⁠如图是抛物线形拱桥的示意图，P处有一照明灯，水面OA宽4 m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tan α＝，tan β＝，以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点P到水面OA的距离是 　　⁠m.  5题图 [解析]如答图，过点P作PH⊥OA于点H. 设PH＝3x m.在Rt△OHP中，∵tan α＝＝，∴OH＝6x m.在Rt△AHP中，∵tan β＝＝，∴AH＝2x m.∴OA＝OH＋AH＝8x，∴8x＝4，x＝，∴PH＝3×＝（m）. 5题答图 ⁠（四川泸州中考）如图，海中有两小岛C、D.某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A、D相距10 n mile.该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8 n mile.求B、D间的距离.（计算过程中的数据不取近似值） 6题图 解：由题意，得∠CAB＝∠ABC＝45°，BC＝8 n mile. ∴∠C＝90°，AC＝BC＝8 n mile. ∴AB＝＝BC ＝×8 ＝16（n mile）. 如答图，过点D作DH⊥AB于点H， 则∠AHD＝∠BHD＝90°. 6题答图 在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，AD＝10 n mile， cos∠ADH＝＝，sin∠ADH＝＝， ∴AH＝AD＝5（n mile）， DH＝AD