专题02 圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题02 圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。 模型1、切线长模型 图1 图2 1）切线长模型（标准类） 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 2）切线长模型（拓展类） 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 例1．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，将直尺、含的直角三角尺和量角器按如图摆放，角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（    ）．    A．3 B． C．6 D． 例2．（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 例3．（2023·广东汕头·校考一模）如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长． 模型2. 燕尾模型 条件：OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023秋·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题． [材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接，以为圆心，长为半径作大圆；（2）若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于两点（点在点的上方）；（3）连接交小圆于，连接，则是小圆的切线． [问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长交大圆于，连接，若，，求的长． 例3．（2023秋·湖北·九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹： (1)如图1，与是圆内接三角形，，，画出圆的一条直径． (2)如图2，，是圆的两条弦，且不相互平行，画出圆的一条直径． 模型3. 蝴蝶模型 条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。 结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 例1．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证． 例2．（2023·河南洛阳·统考一模）概念引入 在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距． 概念理解 (1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为　　． (2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：． 概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长． 例3．（2022·江西·九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中的平分线： （1）如图1，的两边与一圆切于点，点是优弧的三等分点； （2）如图2，的两边与一圆交于，且． 模型4. 手拉手（旋转）模型 注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。 条件：是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 例1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图