专题03直线与平面的位置关系（4个知识点6种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

专题03直线与平面的位置关系（4个知识点6种题型） 【目录】 倍速学习三种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：直线与平面平行 知识点2：直线与平面垂直 知识点3：直线与平面所成的角 知识点4：三垂线定理 【方法二】 实例探索法 题型1：判断线面平行 题型2：证明线面平行 题型3：直线与平面垂直的判定 题型4：直线与平面垂直的性质 题型5：求直线与平面所成的角 题型6：三垂线定理的证明与应用 【方法三】 成果评定法 【倍速学习三种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：直线与平面平行 一、线面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 二、应用判定定理证明线面平行的步骤 “找”是证题的关键，其常用方法有： （1）空间直线平行关系的传递性法； （2）三角形中位线法； （3）平行四边形法； （4）成比例线段法．　 【例1】下列说法正确的是(　　) A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α B．若直线a在平面α外，则a∥α C．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥α D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线 【变式1】已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　) A．b与α内的一条直线不相交 B．b与α内的两条直线不相交 C．b与α内的无数条直线不相交 D．b与α内的所有直线不相交 知识点2：直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【例2】垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　) A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 【变式1】若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于 A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 【变式2】如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是_________.(填序号) 知识点3：直线与平面所成的角 1、直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]． 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： （1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角； （2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角； （3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角． （4）答﹣﹣回答求解问题． 在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想． 3、斜线和平面所成角的最小性： 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角