专题08 类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用压轴题十种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略(湘教版）

专题08 类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用压轴题八种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】 1 【类型二 当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】 4 【类型三 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】 7 【类型四 所有一元二次方程均可用公式法求解】 10 【类型五 一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 14 【类型六 一元二次方程的特殊解法——换元法】 16 【类型七 判断代数式的正负或求最值】 21 【类型八 利用配方法构造非负数求值】 24 【典型例题】 【类型一 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】 例题：（2023·上海·八年级假期作业）用开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先方程两边同时乘以3，变形为，再开平方得，再解一元一次方程即可求解． （2）先把方程变形为，再开平方得，再解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 或， ，； （2）解： 或 ，． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 【变式训练】 1．解方程：． 【答案】 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．解方程：． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：原方程化为：，即， 则或， 解得：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． 3．解方程： 【答案】 【分析】由于方程两边都是完全平方式，这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解∶原方程左右开方变形为， 即或， 解得 【点睛】此题主要考查了直接开平方法，解决本题的关键是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解． 4．（2023春·浙江·八年级专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 5．（2023春·全国·八年级专题练习）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，写成的形式，然后利用数的开方解答． （2）方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解． 【详解】（1）解：移项得，， 开方得，， 解得，． （2）方程两边直接开方得： ，或， ∴，或， 解得：，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键． 【类型二 当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】 例题：（2023秋·辽宁沈阳·九年级校考期末）解方程：． 【答案】， 【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可． 【详解】解：， ， 配方得：， ， 开方得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 【变式训练】 1．解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 则， 解得， ，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法正确解方程是解题的关键． 2．解方程：． 【答案】， 【分析】用配方法解方程即可． 【详解】解： 或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程；根据系数特点选择恰当的方法是解题的关键． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】移项、配方、两边开平方即可得到答案． 【详解】解：移项得， ， 两边同时加上得， ， 即， 两边开平方得， ， 即或， ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握几种解法及选择适当的方法求解． 4．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程：（用配方法）． 【答案】 【分析】利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 所以． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程