专题07 解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧压轴题三种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略(浙教版）

专题07 解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧压轴题三种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 1 【类型二 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 13 【类型三 利用倍角关系构造新等腰三角形】 22 【典型例题】 【类型一 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 例题：已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．    (1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________． (2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由． (3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是． 【变式训练】 1．在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EFAD交CA延长线于P，交AB于F，求证： (1)△APF是等腰三角形； (2)BF=CP (3)若AB=12，AC=8，试求出PA的长． 2．已知：如图1，中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)求证：BE+CF＝EF； (2)若将已知条件中的“∠ACB的角平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，其他条件不变（如图2）（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出BE，CF，EF之间的关系．（不需证明） 3．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． 已知△ABC． (1)观察发现 如图①，若点D是和的角平分线的交点，过点D作分别交，于E，F．填空：与的数量关系是______．请说明理由 (2)猜想论证 如图②，若点D是外角和的角平分线的交点，其他条件不变，填：与的数量关系是______．请说明理由 (3)类比探究 如图③，若点D是和外角的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明． 4．解答 (1)问题背景 如图（1），已知，平分，求证：． (2)尝试应用： 如图（2），在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)拓展创新： 如图（3），在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．       5．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形． (1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分是等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整： ∵在长方形中，， ∴，由折叠性质可得：____________， ∴， ∴，（依据是：____________） ∴是等腰三角形； (2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交、于点、，试探究线段、、之间的数量关系并说明理由； (3)【拓展提升】如图4，四边形中，，为边的中点，平分，连接，求证：． 【类型二 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 例题：已知：等边中． (1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值； (2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：． (3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值． 【变式训练】 1．如图，在中，，为延长线上一点，且交于点. (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，为中点，求的长. 2．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）． 3．在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、． (1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系； (2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由； (3)应用：如图3，当落在射线上， F落在射线上时，，，则___________． 【类型三 利用倍角关