专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略(苏科版）

专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 11 【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 17 【典型例题】 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，． (1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明． 【变式训练】 1．在中，，，点D是边的中点． (1)如图，若点E，F分别在边，上，，求证：，并说明理由； (2)在（1）的条件下，，求的值． 2．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； (3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由． 3．在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、 (1)如图1，若点是的中点时，求证： (2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由． (3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度． 4．在中，，，点O为的中点． (1)若，两边分别交于E，F两点． ①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则　　． (2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长． 【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． (1)求证：BD＝CE； (2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【变式训练】 1．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）． 2．已知在中，，且=．作，使得． (1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)； (2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数． 【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 2．【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点B，易证≌，则．其分析过程如下： 在和中， 平分 ≌（___________） 在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________） 在括号内填写理由依据 【问题探究】 如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：； 【拓展延伸】 如图3，在中，在线段上，向左侧作于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 11 【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 17 【典型例题】 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，． (1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明． 【