3.1.1 第1课时 椭圆及其标准方程(一)（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3．1　椭　圆 3．1.1　椭圆及其标准方程 第1课时　椭圆及其标准方程(一) [对应学生用书P69] 学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程． 2．掌握用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程． 知识点一　椭圆的定义 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么曲线？ 椭圆的定义 1．定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． (1)焦点：两个定点F1，F2. (2)焦距：两焦点间的距离| F1F2|. 2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>| F1F2|. [例1] 下列说法正确的是(　　) A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，到两点F1，F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆 B．已知F1 (－4，0)，F2 (4，0)，到两点F1，F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于从点(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆 C　解析：选项A中虽满足到两定点的距离之和大于8，但未指明到两定点距离之和是常数，故轨迹不是椭圆；选项B中这样的点的轨迹不存在；选项C中点(5，3)到F1，F2的距离之和4>|F1F2|，适合该条件的点的轨迹是椭圆；选项D中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． [练1] 已知A(－5，0)，B(5，0).若动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点 C　解析：由|AC|＋|BC|＝10＝|AB|知点C的轨迹是线段AB. 知识点二　椭圆的标准方程 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系能使所得的椭圆方程形式简单？ 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点A(0，2)，B(，)； (2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点． [解题笔记] 解：(1)方法一　当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). ∵点A(0，2)，B(，)在椭圆上， 这与a>b>0相矛盾，故应舍去． 当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). ∵点A(0，2)，B(，)在椭圆上， ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. 综上可知，椭圆的标准方程为x2＋＝1. 方法二　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). ∵点A(0，2)，B(，)在椭圆上， 故椭圆的标准方程为x2＋＝1. (2)方法一　椭圆＋＝1的焦点为(－4，0)和(4，0)， 可设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0). 由椭圆的定义可得 2a＝＋， ∴2a＝12，即a＝6.∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(λ>－9)， 将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程， 得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. [练2] 根据下列条件，求出椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26； (2)经过点P(1，)，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上． 解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0). ∵2a＝26，∴a＝13.又c＝5，∴b2＝a2－c2＝144. ∴所求椭圆方程为＋＝1. (2)方法一　∵焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). 又2c＝2，∴a2＝b2＋1. 又椭圆经过点P(1，)，∴＋＝1，解得b2＝3. ∴a2＝4. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　∵焦距为2，焦点在x轴上， ∴焦点坐标为(－1，0)，(1，0). 又点P(1，)在椭圆上， ∴2a＝＋ ＝4， ∴a＝2，b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. [例3] 若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．－9<m<16 B．－9<m< C．<m<16 D．m> C　解析：依题意可得 [变式探究1] 若将本例条件“y轴”改为“x轴”，其他条件不变，试求实数m的取值范围． 解：依题意可得即实数m的取值范围为(－9，). [变式探究2] 如果把本例的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解