第3章 阶段复习提升课 圆锥曲线方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

圆锥曲线方程 [对应学生用书P95] 考点一　圆锥曲线的定义与标准方程 求圆锥曲线方程的常用方法 　(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量． (3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程． (4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数． [练1] 设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解：方法一(直接法)　设OQ为过点O的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OP，OC的中点为M(，0)， 则|MP|＝|OC|＝，得方程(x－)2＋y2＝，考虑轨迹的范围知0<x≤1. 方法二(定义法)　∵∠OPC＝90°， ∴动点P在以M(，0)为圆心，OC为直径的圆上，|OC|＝1，则轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0＜x≤1). 方法三(相关点法)　设Q(x1，y1)，则 ⇒ 又∵(x1－1)2＋y＝1， ∴(2x－1)2＋(2y)2＝1(0<x≤1). (x－)2＋y2＝(0＜x≤1). [练2] 已知双曲线与椭圆x2＋4y2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x－y＝0，求双曲线的方程． 解：方法一　椭圆x2＋4y2＝64，即＋＝1， 其焦点是(±4，0). 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 其渐近线方程是y＝±x. 又∵双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0， ∴＝， 又由a2＋b2＝c2＝48，解得a2＝36，b2＝12. ∴所求双曲线方程为－＝1. 方法二　由双曲线与椭圆共焦点， 可设双曲线方程为－＝1(16<λ<64). ∵双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0， 即y＝，∴＝，∴λ＝28， 故所求双曲线方程为－＝1. 考点二　圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴(椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线(双曲线)、离心率和准线(抛物线). [练3] 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l.点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且＝3，则点P到准线l的距离为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　解析：设P(x0，y0)，Q(t，0)，∵F(0，1)，＝3，∴1－y0＝3×(－1)，∴y0＝4，∴P到l的距离d＝5，故选C. [练4] 椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． A　解析：因为△ABF2的周长为12，根据椭圆的定义可得4a＝12，解得a＝3，则c2＝a2－a－2＝4，所以c＝2，则椭圆E的离心率为e＝＝.故选A. [练5] 已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________． 答案：－3　解析：对于双曲线y2＋＝1，所以m<0，即双曲线的标准方程为y2－＝1，则a＝1，b＝，又双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，所以＝，即＝，解得m＝－3. [练6] (2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________________． 答案：2(满足1<e≤皆可)　解析：C：－＝1(a>0，b>0)，所以C的渐近线方程为y＝±x，结合渐近线的特点，只需0<≤2，即≤4，可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝＝≤＝，又因为e>1，所以1<e≤，故答案为2(满足1<e≤皆可). 考点三　直线与圆锥曲线的位置关系 [例] 已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，求直线l的方程． [解题笔记] 解：设C(x1，y1)，D(x2，y2).由题意得b＝1，c＝1. ∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为x2＋＝1. 当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意． 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1， 联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. Δ＝8(k2＋1)>0恒成立． ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. ∴|CD|＝|x1－x2|＝＝.即＝，解得k2＝2，∴k＝±. ∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. [练7] 已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线所成的锐角为60°且点(2，3)是E上一点． (1)求双曲线E的标准