第3章 专题提升课(一) 圆锥曲线中的定点、定值问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

专题提升课(一)　圆锥曲线中的定点、定值问题 [对应学生用书P96] 考点一　定点问题 [例1] 已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点T(3，t)到焦点F的距离为4. (1)求t，p的值； (2)设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且·＝5(其中O为坐标原点).求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标． [解题笔记] 解：(1)由抛物线的定义得3＋＝4，解得p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x，代入点T(3，t)， 解得t＝±2. (2)设直线AB的方程为x＝my＋n，A(，y1)，B(，y2)， 联立消去x得y2－4my－4n＝0， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， 由·＝5，得＋y1y2＝5， 所以y1y2＝－20或y1y2＝4(舍去)，即－4n＝－20，即n＝5， 所以直线AB的方程为x＝my＋5，所以直线AB过定点(5，0). [练1] (2023·宁夏石嘴山模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点M(x0，4)在抛物线上，且|MF|＝x0. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若A，B是抛物线C上的两个动点，且OA⊥OB，O为坐标原点，求证：直线AB过定点，并求出这个定点． 解：(1)由题意得，|MF|＝x0＋＝x0，解得x0＝2p. 因为点M(x0，4)在抛物线C上，所以42＝2px0＝4p2，解得p2＝4. 又p>0，所以p＝2，即拋物线C的标准方程为y2＝4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为OA⊥OB，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0. 因为点A，B在抛物线C上，所以y＝4x1，y＝4x2，代入得＋y1y2＝0. 因为y1y2≠0，所以y1y2＝－16. 设直线AB的方程为x＝my＋n，联立得y2－4my－4n＝0， 则y1y2＝－4n，所以n＝4， 所以直线AB的方程为x＝my＋4，过定点(4，0). 考点二　定值问题 [例2] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，长轴是短轴的3倍，点(1，)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若过点Q(1，0)且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，T(3，0)，证明：TM，TN斜率之积为定值，并求出此定值． [解题笔记] 解：(1)由题意得a＝3b，故椭圆C为＋＝1， 又点(1，)在椭圆C上，所以＋＝1，得b2＝1，a2＝9， 故椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由已知直线l过Q(1，0)，设l的方程为x＝my＋1， 联立两个方程得，消去x得(m2＋9)y2＋2my－8＝0，Δ＝4m2＋32(m2＋9)>0得m∈R， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－，(*) 因为T(3，0)，故kTM·kTN＝·＝·＝， 将(*)代入上式，可得＝＝－， ∴直线TM与TN斜率之积为定值－. [练2] 设F1，F2为椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值． 解：(1)由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝4，① 由MF1⊥MF2得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)，② 由题意得S△MF1F2＝|MF1|·|MF2|＝1，③ 由①②③，可得b2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)依题意，H(0，1)，显然直线RS的斜率存在且不为0，设直线RS的方程为y＝kx＋m(k≠0)， 代入椭圆方程并化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由题意知，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0， 设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x2≠0， 故x1＋x2＝，x1x2＝. kHR＋kHS＝＋＝＋ ＝2k＋(m－1)＝2k＋(m－1) ＝2k－＝. ∵直线RS过点(2，－1)，∴2k＋m＝－1， ∴kHR＋kHS＝－1.故kHR＋kHS为定值－1. 课时梯级训练(41)　圆锥曲线中的定点、定值问题 1．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点． (1)求抛物线C的方程； (2)若点B(1，－2)在抛物线C上，过B作抛物线C的两条弦BP与BQ，若kBP·kBQ＝－2.求证：直线PQ过定点，并求出此定点． 解：(1)当焦点在x轴上时，设抛物线C的方程为y2＝2px，代入点A(1，2)得2p＝4，即y2＝4x. 当焦点在y轴上时，设抛物线C的方程为x2＝2ty， 代入点A(1，2)得2t＝，即x2＝y. 综上可知，抛物线C的方程为y2＝4x或x2＝y. (2)∵点B(1，－2)在抛物线C上，∴抛物线C的方程为