第3章 专题提升课(二) 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

专题提升课(二)　圆锥曲线中的最值、范围问题 [对应学生用书P98] 考点一　最值问题 [例1] (2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值． [解题笔记] 解：(1)由题意，得p＝2. ∴抛物线C的方程为y2＝2px＝4x. (2)由(1)知F(1，0).设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x2>0). ∵＝9，即(x2－x1，y2－y1)＝9(1－x2，－y2)， ∴∴ 又因为点P在抛物线C上，所以y＝4x1，所以(10y2)2＝4(10x2－9)，则点Q的轨迹方程为y2＝x－.易知直线OQ的斜率存在．设直线QO的方程为y＝kx，当直线OQ和曲线y2＝x－相切时，斜率取得最值．由得k2x2＝x－，即k2x2－x＋＝0，(*) 当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，方程(*)的判别式Δ＝(－)2－4k2·＝0，解得k＝±，所以直线OQ斜率的最大值为. [练1] 已知直线l1：ax－y＋1＝0，直线l2：x＋5ay＋5a＝0，直线l1与l2的交点为M，点M的轨迹为曲线C. (1)当a变化时，求曲线C的方程； (2)已知点D(2，0)，过点E(－2，0)的直线l与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值． 解：(1)由消去a，得曲线C的方程为＋y2＝1(y≠－1，即点(0，－1)不在曲线C上). (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－2， 由得(m2＋5)y2－4my－1＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝－， 故△ABD的面积S＝2|y2－y1|＝2＝2＝， 设t＝，t∈[1，＋∞)，则S＝＝≤， 当且仅当t＝，即t＝2，m＝±时， △ABD的面积取得最大值. 考点二　范围问题 [例2] 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是其右焦点，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点，|AF|＋|BF|＝8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设Q(3，0)，若∠AQB为锐角，求实数k的取值范围． [解题笔记] 解：(1)设F1为椭圆的左焦点，连接F1B(图略)，由椭圆的对称性可知，|AF|＝|F1B|， 所以|AF|＋|BF|＝|BF1|＋|BF|＝2a＝8， 所以a＝4，又e＝＝，a2＝b2＋c2， 解得c＝2，b＝2， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)， 联立得(4k2＋1)x2－16＝0， 所以x1＋x2＝0，x1x2＝， 因为∠AQB为锐角，所以·＞0， 所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝9－3(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝9－3(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＝9－＞0， 解得k＞或k＜－. 所以实数k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞). [练2] 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． (1)证明：设P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2). 因为PA，PB的中点在抛物线上， 所以y1，y2为方程()2＝4·，即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实数根． 所以y1＋y2＝2y0. 所以PM垂直于y轴． (2)解：由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0， |y1－y2|＝2. 因此，S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0). 因为x＋＝1(x0<0)， 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]. 因此，△PAB面积的取值范围是[6，]. 课时梯级训练(42)　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，四点P1(，)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，－)中恰有三点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点Q(2，0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△OMN的面积的取值范围． 解：(1)由对称性可知P3，P4都在椭圆C上，对于椭圆在第一象限的图象上的点(x，y)， 易知y随x的增大而减小，故P1，P2中只有P2符合． 所以P2，P3，P4三点在椭圆上， 故b＝1，将P3代入椭圆C：＋＝1得a＝，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由已知直线l斜率不为0，故设方程为x＝my＋2， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 联立方程得(m2＋2)y2＋4my＋2＝0， ∴Δ＝16m2－8(m2＋2)＝8(m2－2)>0， 即m2>2，y1＋y2＝－，y1y2＝； S△