3.3.1 抛物线及其标准方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3．3　抛物线 3．3.1　抛物线及其标准方程 [对应学生用书P88] 学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念． 2．会求简单的抛物线方程． 知识点一　抛物线的定义 如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线. H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 抛物线的定义 定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 焦点 点F叫做抛物线的焦点 准线 直线l叫做抛物线的准线 集合 表示 P＝{M||MF|＝d，d为点M到准线l的距离} [练1] 若动点P到定点F(－4，0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是(　　) A.抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 A　解析：动点P的条件满足抛物线的定义． [练2] 到直线x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　) A.椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 C　解析：动点M到定点P(2，0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，故选C. 知识点二　抛物线的标准方程 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？ 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p＞0) (，0) x＝－ y2＝－2px(p＞0) (－，0) x＝ x2＝2py(p＞0) (0，) y＝－ x2＝－2py(p＞0) (0，－) y＝ [例1] 求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点M(－6，6)； (2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上． [解题笔记] 解：(1)由于点M(－6，6)在第二象限，所以过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，则焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2p1x(p1>0)，将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p1×(－6)，所以p1＝3. 所以抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，则焦点在y轴上，设其方程为x2＝2p2y (p2>0)，将点M(－6，6)代入，可得36＝2p2×6，所以p2＝3， 所以抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. (2)①因为直线l与x轴的交点为(2，0)，所以抛物线的焦点是F(2，0)，所以＝2，所以p＝4， 所以抛物线的标准方程是y2＝8x. ②因为直线l与y轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F(0，－3)，所以＝3，所以p＝6， 所以抛物线的标准方程是x2＝－12y. 综上，抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y. [练3] 若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝________，准线方程为________． 答案：2　x＝－1　解析：因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1. [练4] 求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为________________． 答案：x2＝10y和x2＝－10y　解析：由题意可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 综合应用：抛物线的简单综合 考法1　抛物线定义的应用 [例2] (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　) A.1 B．2 C．4 D．8 (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． [解题笔记] (1)A　解析：∵＋x0＝x0，∴x0＝1. (2)解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离． 由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F(，0)三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝. [变式探究] 若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值． 解：将x＝3代入y2＝2x，得y＝±. 所以点A在抛物线内部． 设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是. 即|PA|＋|PF|的最小值是. [练5] 设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为(　　) A.1