3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 [对应学生用书P91] 学习目标 1.掌握抛物线的几何性质． 2．掌握抛物线的焦点弦与最值有关的问题． 知识点一　抛物线的几何性质 类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图象 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R ，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 [例1] (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 (2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________________． (1)B　(2)y2＝3x或y2＝－3x　解析：(1)因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.联立得或不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p).所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2. (2)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，则抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x. [练1] 已知定点A(－3，0)，B(3，0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则·的最小值等于________． 答案：－9　解析：设P(x，y)，因为A(－3，0)，B(3，0)，则·＝(－3－x，－y)(3－x，－y)＝x2＋y2－9＝x2＋2x－9＝(x＋1)2－10(x≥0)，所以当x＝0时，(·)min＝－9. 知识点二　抛物线的焦点弦问题 过焦点的弦长公式 　直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p． [例2] 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝7，则线段AB的长为________． 答案：9　解：由抛物线的方程得＝1，所以根据抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋1＋x2＋1＝7＋2＝9. [变式探究] 在本例中，若点A，B是倾斜角为60°的直线与抛物线的交点，则|AB|等于多少？ 解：因为抛物线的焦点是(1，0)，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，与抛物线方程联立消去y得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，从而|AB|＝ x1＋x2＋p＝＋2＝. [练2] 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝3x D．y2＝6x D　解析：抛物线的焦点F(，0)，直线方程为y＝(x－)，代入整理得12x2－20px＋3p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，|AB|＝p＋x1＋x2＝p＋＝＝8，所以p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x. 综合应用：抛物线几何性质在最值中的应用 [例3] 已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴和直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|＋|PB|的最小值． [解题笔记] 解：如图，延长PA交准线l于A′，焦点F(1，0)，＝1. |PA|＋|PB|＝|PA′|－1＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1. 当F，P，B共线时，|PA|＋|PB|最小， 即转化为F到x－y＋4＝0的距离减去1. 此时d＝＝， ∴|PA|＋|PB|的最小值为－1. [练3] 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________． 答案：2　解析：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线方程，易知抛物线的焦点为F(1，0)，∴点P到直线x＝－1的距离与点P到点F的距离相等，故所求距离之和的最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离d，易知d＝＝2. ◎随堂演练 1．抛物线