3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　直线与抛物线的位置关系 [对应学生用书P93] 学习目标 1.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题． 2．会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题． 3．解决一些抛物线的综合问题． 知识点一　直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的交点问题 　要解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)得出关于x(或y)的一个方程Ax2＋Bx＋C＝0，其中二次项系数A有可能为0，此时直线与抛物线有一个交点． 当二次项系数A≠0时，Δ＝B2－4AC. 若Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点； 若Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点； 若Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点． [例1] 直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离． [解题笔记] 解：将直线l和抛物线C的方程联立消去y并整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 当k＝0时，直线l：y＝1与抛物线C：y2＝4x相交于点(，1). 当k≠0时，k2x2＋(2k－4)x＋1＝0是一元二次方程，所以Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k). ①当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切． ②当Δ＞0，即k＜1时，l与C相交． ③当Δ＜0，即k＞1时，l与C相离． 综上所述，当k＝1时，l与C相切，当k<1时，l与C相交，当k>1时，l与C相离． [练1] 求过定点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程． 解：①若直线的斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y＝kx＋1. 联立消去y，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0. 当k＝0时，得x＝，y＝1. 故直线y＝1与抛物线相交，只有一个公共点． 当k≠0时，由于直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，得k＝， 此时直线y＝x＋1与抛物线相切，只有一个公共点． ②若直线的斜率不存在，则过P(0，1)的直线方程为x＝0. 由得 此时直线x＝0与抛物线相切，只有一个公共点． 综上所述，所求直线方程是x＝0或y＝1或y＝x＋1. 知识点二　抛物线的弦长与中点弦问题 [例2] 过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为__________． 答案：4x－y－15＝0　解析： 方法一　设以点Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2， ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2).又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，∴k＝4.∴所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0. 方法二　设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1. 联立消去x得ky2－8y－32k＋8＝0， 此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标， 由根与系数的关系得y1＋y2＝.又y1＋y2＝2，∴k＝4. ∴所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0. [练2] 抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于________． 答案：　解析：联立消去y得4x2－8x＋1＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝2，x1x2＝. 所求弦长d＝|x1－x2|＝＝＝. 知识点三　抛物线的综合问题 [例3] 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值． [解题笔记] (1)解：由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2， 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1. (2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， 所以kPA＝－kPB，即＝－. 又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上， 所以x1＝，x2＝， 从而有＝－，即＝－， 得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率 kAB＝＝＝－1. [练3] 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点F的距离为5. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB. (1)解：由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－. ∵P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离， ∴4＋＝5，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)证明：联立消去y得x2－12x＋16＝0，Δ>0. ∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同的两点A，B， ∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系得x1＋x2＝12，x1x2＝16. ∵·＝