3.1.1 第2课时 椭圆及其标准方程(二)（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　椭圆及其标准方程(二) [对应学生用书P72] 学习目标 1.巩固椭圆的定义及椭圆的标准方程． 2．应用椭圆的定义及椭圆的标准方程解决相关问题． 3．掌握用相关点法和直接法求椭圆的标准方程． 知识点一　椭圆的焦点三角形 1．焦点三角形 椭圆上一点和两个焦点构成的三角形，称之为椭圆的焦点三角形． 2．有关椭圆焦点三角形的结论 (1)△F1PF2的周长为2a＋2c； (2)若点P(x0，y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积S＝b2tan ，在解题时可以直接使用此公式求椭圆焦点三角形的面积． [例1] 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． [解题笔记] 解：方法一　在△PF1F2中，由余弦定理， 得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 方法二　由椭圆焦点三角形相关结论知S△F1PF2＝b2tan ＝3×＝. [变式探究] 若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积． 解：方法一　由椭圆＋＝1， 知|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝6. 因为∠F1PF2＝90°， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝36， 所以|PF1|·|PF2|＝6， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝3. 方法二　S△F1PF2＝b2tan ＝3×1＝3. 知识点二　与椭圆有关的轨迹方程 [例2] (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________． (2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程． [解题笔记] (1)x2＋＝1　解析：设Q(x，y)，P(x0，y0)，由Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y.又＋＝1. 所以＋＝1，即x2＋＝1. (2)解：由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3，0)，r2＝9. 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，如图． 由题设有|MQ1|＝1＋r，|MQ2|＝9－r， 所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6. 由椭圆的定义， 知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3. 所以b2＝a2－c2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1. [练2] 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程，并判断此曲线的类型． 解：设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)， 由已知易得 ∵P在圆上，∴x2＋(y)2＝25， 即轨迹C的方程为＋＝1. 该曲线表示焦点在x轴上的椭圆． ◎随堂演练 1．已知椭圆C：＋＝1，F1，F2分别为椭圆的两焦点，点P在椭圆上，且|PF2|＝3，求△PF1F2的面积． 解：由椭圆C：＋＝1，得a＝4，|PF1|＋|PF2|＝8， 因为|PF2|＝3，所以|PF1|＝5， 因为|F1F2|＝4，所以PF2⊥F1F2， 所以△PF1F2的面积为×4×3＝6. 2．如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程． 解：由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|， 所以|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.所以|CM|＋|MA|＝4. 又因为|AC|＝2，所以点M的轨迹为椭圆． 由椭圆的定义知a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3. 所以所求轨迹方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $