3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3．1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 [对应学生用书P74] 学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义． 2．会用椭圆的几何意义解决相关问题． 知识点一　椭圆的几何性质 观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？ 它具有怎样的对称性？ 椭圆上哪些点比较特殊？ 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c [练1] 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标． 解：把已知方程化成标准方程为＋＝1， 即a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 两个焦点坐标分别是(－，0)和(，0)， 四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3). 知识点二　椭圆的离心率 观察图形，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同．扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 椭圆的离心率 (1)定义：把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． (2)性质： [练2] 椭圆＋＝1的离心率为(　　) A． B． C． D． C　解析：由椭圆方程可知a2＝9，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝5，椭圆的离心率e＝＝. [练3] 若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． C　解析：依题意可知，c＝b.又a＝＝c，∴椭圆的离心率e＝＝. 综合应用：椭圆几何性质的综合运用 考法1　求椭圆的标准方程 [例1] 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程． (1)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率e＝； (2)以直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点为一个顶点和一个焦点． [解题笔记] 解：(1)∵c＝＝，∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0). 设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0). ∵e＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20. ∴所求椭圆的方程为＋＝1. (2)直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点分别为(0，3)，(4，0). ①若以(4，0)为一个焦点，则c＝4，b＝3，a＝5. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. ②若以(0，3)为一个焦点，则c＝3，b＝4，a＝5. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. [练4] 已知椭圆的左、右焦点坐标分别为(－，0)，(，0)，离心率是，求椭圆的方程． 解：由题意设方程为＋＝1(a＞b＞0). ∵c＝，＝，∴a＝，∴b2＝1， ∴方程为＋y2＝1. [练5] 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点．若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA＝，求椭圆的方程． 解：∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝， ∴A是短轴的端点．∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3， ∴＝，∴c＝2，b2＝32－22＝5， ∴椭圆的方程是＋＝1或＋＝1. 考法2　与椭圆离心率有关的问题 [例2] (1)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　) A．1－ B．2－ C． D．－1 (2)椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是__________． (1)D　(2)[，1)　解析：(1)在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°.不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝.由椭圆的定义可知，2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1，所以离心率e＝＝＝－1. (2)因为|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝，|PF2|＝，则|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，≤2c，所以e≥.又0＜e<1，则椭圆离心率的取值范围是[，1). [练6] 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.(0，1) B．(0，] C