3.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　椭圆的简单几何性质的应用 [对应学生用书P77] 学习目标 1.了解椭圆在实际生活中的应用． 2．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系． 知识点一　椭圆的实际应用问题 [例1] 酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200 km，远地点(离地面最远的点)高度约350 km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6 371 km)，求卫星运行的轨道方程．(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线) [解题笔记] 解：如图，设地心为椭圆轨道右焦点F2，近地点、远地点分别为A2，A1，以直线A1A2为x轴，线段A1A2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 则F2，A1，A2三点都在x轴上， |F2A2|＝a－c＝200＋6 371＝6 571， |A1F2|＝a＋c＝350＋6 371＝6 721， 所以a＝6 646，c＝75， 从而b2＝a2－c2＝6 6462－752＝44 163 691. 所以卫星运行的轨道方程为＋＝1. [练1] 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8米．如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米． 答案：32　解析：设椭圆方程为＋＝1， 当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1， 解得a＝16， ∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32， 故拱宽至少为32米． 知识点二　直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 　直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 考法1　直线与椭圆位置关系的判断 [例2] 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． [解题笔记] 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.① 关于x的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)由Δ>0，得－3<m<3. 当－3<m<3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m＝±3. 当m＝±3时，方程①有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m<－3或m>3. 当m<－3或m>3时，方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． [练2] 若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　) A． B．－ C．± D．± C　解析：由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0.由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0， 解得k＝±. 考法2　弦长问题 [例3] 已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－. (1)试求动点P的轨迹方程C； (2)设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程． [解题笔记] 解：(1)设动点P的坐标是(x，y).由题意得kPA·kPB＝－. ∴·＝－，化简整理得＋y2＝1. 故点P的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±). (2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0. Δ＝16k2＞0，∴x1＋x2＝，x1x2＝0. |MN|＝·＝， 整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍去). ∴k＝±1.经检验符合题意． ∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. [练3] 已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. (1)求椭圆M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值． 解：(1)由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， Δ＝(6m)2－4×4(3m2－3)＝48－12m2＞0，即m2＜4. 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|AB|＝＝＝＝. 当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为. ◎随堂演练 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A.相交 B．相切