3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程(一)（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3．2　双曲线 3．2.1　双曲线及其标准方程 第1课时　双曲线及其标准方程(一) [对应学生用书P79] 学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程及其求法． 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题． 知识点一　双曲线的定义 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2处，把笔尖放在点M，拉开、闭拢拉链，笔尖经过的点是一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 双曲线的定义 (1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线． (2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|). (3)焦点：两个定点F1，F2． (4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. [练1] 若动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 A　解析：设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1(0，0)和O2(4，0)，半径分别为r1＝1和r2＝2.由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝1.又|O1O2|＝4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1). [练2] 已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形． (1)|－|＝6； (2)－＝6. 解：(1)∵|－|表示点P(x，y)到两定点F1(－5，0)，F2(5，0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|， 故点P的轨迹是双曲线． (2)∵－表示点P(x，y)到两定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支． 知识点二　双曲线的标准方程 类比推导椭圆标准方程的方法，怎样推导双曲线的标准方程？ 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的 关系 c2＝a2＋b2 考法1　对双曲线标准方程的理解 [例1] 已知方程－＝1表示的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　) A．k＞5 B．k＞5或－2＜k＜2 C．k＞2或k＜－2 D．－2＜k＜2 B　解析：∵方程表示的图形是双曲线，∴(k－5)(|k|－2)＞0，即解得k＞5或－2＜k＜2.故选B. [练3] 若双曲线＋＝1的焦点在x轴上，且该双曲线的焦距为4，则a等于(　　) A.1 B． C．4 D．10 C　解析：因为双曲线＋＝1，即－＝1的焦点在x轴上，且双曲线的焦距为4，所以(a－3)＋(a－1)＝22，解得a＝4.故选C. 考法2　求双曲线的标准方程 [例2] 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)经过点P(3，)，Q(－，5)； (2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上． [解题笔记] 解：(1)方法一　若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0). 将点P(3，)和Q(－，5)代入方程， 若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).将P(3，)，Q(－，5)两点坐标代入可得解得则双曲线的标准方程为－＝1. 综上，双曲线的标准方程为－＝1. 方法二　设双曲线方程为＋＝1(mn<0). ∵P，Q两点在双曲线上， ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)方法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0). 故双曲线的标准方程为－y2＝1. 方法二　∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6). ∴将点(－5，2)的坐标代入得－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1. [练4] 如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，求此双曲线的标准方程． 解：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0). 由题意，得B(2，0)，C(2，3). ∴双曲线的标准方程为x2－＝1. ◎随堂演练 1．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　) A．5 B．3 C．7 D．3或7 D　解析：由题知a＝1，所以||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝3或|PF2|＝7. 2．“