3.2.1 第2课时 双曲线及其标准方程(二)（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　双曲线及其标准方程(二) [对应学生用书P81] 学习目标 1.掌握与双曲线焦点三角形有关问题的解法． 2．掌握与双曲线定义有关的轨迹问题的解法． 3．能解决与双曲线有关的简单实际问题． 知识点一　与双曲线焦点三角形有关的问题 [例1] 已知F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． [解题笔记] 解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， ∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝64，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16. [变式探究] 在本例中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“PF1·PF2＝0”，则△F1PF2的面积为________． 答案：16　解析：由题可知a＝3，b＝4，c＝5.不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝6.∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2， ∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝100，∴|PF1|·|PF2|＝32， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16. [练1] (2023·四川凉山高二期末)已知F1，F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，那么点P到x轴的距离为(　　) A． B． C． D． D　解析：设|PF1|＝x，|PF2|＝y(x>y)，设焦距为2c，∴c＝.∵点P在双曲线上，∴x－y＝4.∵∠F1PF2＝90°，∴x2＋y2＝20，∴2xy＝x2＋y2－(x－y)2＝4，∴xy＝2，△F1PF2的面积为xy＝1.利用等面积法，设h为点P到x轴的距离，则·h·2c＝h＝1，∴h＝.故选D. 知识点二　与双曲线有关的轨迹方程问题 [例2] 如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． [解题笔记] 解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(－2，0)，B(2，0). ∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点). 由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)， ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6. 即所求轨迹方程为－＝1(x>). [练2] 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：如图，动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得 |MC1|＝|AC1|＋|MA|，|MC2|＝|BC2|＋|MB|.∵|MA|＝|MB|， ∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2<| C1C2|. 根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支，则2a＝2，解得a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8. 因此所求动点M的轨迹方程为x2－＝1(x＜0). 知识点三　双曲线的实际应用问题 [例3] 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？ [解题笔记] 解：设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， 则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2). ∵|PB|＝|PC|， ∴点P在线段BC的垂直平分线上． 又易知kBC＝－，线段BC的中点D的坐标为(－4，)， ∴直线PD的方程为y－＝(x＋4). 又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|， ∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3， ∴双曲线方程为－＝1(x≥2).② 联立①②，得P点坐标为(8，5)， ∴kPA＝＝. 因此甲舰行进的方向角为北偏东30°. [练3] (多选)已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监