3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3．2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 [对应学生用书P83] 学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质． 2．理解双曲线离心率的定义、取值范围． 知识点　双曲线的几何性质 类比研究椭圆几何性质的过程，请从“数”和“形”两个角度研究双曲线的几何性质． 1．双曲线的几何性质 焦点 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 x≤－a或x≥a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：(0，0) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝且e＞1 渐近线 y＝±x y＝±x 2．等轴双曲线 (1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)； ②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝. [练1] 双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　) A．(4，0)，(0，1) B．(－4，0)，(4，0) C．(0，1)，(0，－1) D．(－4，0)，(0，－1) 答案：B [练2] 双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案：C [练3] 双曲线－＝－3的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 答案：A 综合应用：双曲线几何性质的运用 考法1　双曲线的几何性质 [例1] 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [解题笔记] 解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0). 由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝. 顶点坐标为(－，0)，(，0). 所以渐近线的方程为y＝±＝±. [练4] 求双曲线9x2－y2＝81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率． 解：将9x2－y2＝81化为－＝1，所以双曲线的焦点在x轴上，且a2＝9，b2＝81， 从而a＝3，b＝9，c＝＝3，所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝18，顶点坐标为(3，0)，(－3，0)，焦点坐标为(3，0)，(－3，0)，渐近线方程为y＝±3x，离心率e＝＝. 考法2　由双曲线的几何性质求标准方程 [例2] 求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3). 解：(1)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0). ∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝. ∴所求的双曲线方程为－＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x， 可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， ∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. [练5] 过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 A　解析：因为所求双曲线与双曲线－y2＝1有相同渐近线，所以设其方程为－y2＝t(t≠0)，因为点(2，－2)在双曲线上，所以－(－2)2＝t，解得t＝－2，则所求双曲线方程为－＝1.故选A. 考法3　求双曲线的离心率的值或范围 [例3] (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)已知双曲线C的焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±x，则C的离心率为________． (1)A　(2)　解析：(1)由题意，得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理，可得＝，所以＝，所以双曲线C的离心率为. (2)由题意，设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0).因为渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以双曲线C的离心率e＝＝＝＝. [练6] 已知双曲线－＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为________． 答案：　解析：∵a＞， ∴＜1， ∴y＝x的倾斜角小于， ∴＝tan ＝，∴a＝，c＝＝2，e＝＝