3.2.2 第2课时 双曲线的简单几何性质的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　双曲线的简单几何性质的应用 [对应学生用书P86] 学习目标 1.了解双曲线在实际生活中的应用． 2．进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用． 知识点一　与双曲线轨迹有关的问题 [例1] (1)已知A(－2，－1)，B(2，1)，若动点P满足直线PA与直线PB的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为(　　) A．＋＝1，x≠±2 B．＋＝1，x≠± C．－y2＝1，x≠±2 D．y2－＝1，x≠±2 (2)某接报中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离均是1 020 m，则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)(　　) A．北偏西45°方向，距离680 m处 B．南偏东45°方向，距离680 m处 C．北偏西45°方向，距离680 m处 D．南偏东45°方向，距离680 m处 (1)C　(2)A　解析：(1)设P(x，y)(x≠±2)， 因为A(－2，－1)，B(2，1)，所以kPA＝，kPB＝， 又因为直线PA与直线PB的斜率之积为，所以·＝，整理得－y2＝1(x≠±2).故选C. (2)如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴，y轴正向，建立平面直角坐标系． 设A，B，C分别是正西、正东、正北观测点，则A(－1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020).设P(x，y)为巨响发生点． 由已知可得|PA|＝|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，所以直线PO的方程为y＝－x.又B点比A点晚4 s听到爆炸声，故|PB|－|PA|＝340×4＝1 360，可知P点在以A，B为焦点的双曲线－＝1上．依题意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402， 故双曲线方程为－＝1. 将y＝－x代入上式，得x＝±680， ∵|PB|＞|PA|，∴x＝－680，y＝680， 即P(－680，680)，故PO＝680. 故巨响发生在接报中心的北偏西45°，距中心680 m处． [练1] 已知A(2，－1)，B(－1，1)，O为坐标原点，动点P满足＝m＋n，其中m，n∈R，且2m2－n2＝2，则动点P的轨迹是(　　) A．焦距为的椭圆 B．焦距为2的椭圆 C．焦距为的双曲线 D．焦距为2的双曲线 D　解析：设动点P(x，y)，因为点P满足＝m＋n，其中m，n∈R，且2m2－n2＝2，所以(x，y)＝(2m－n，n－m)，所以x＝2m－n，y＝n－m，所以m＝x＋y，n＝x＋2y，所以2(x＋y)2－(x＋2y)2＝2，即－y2＝1，表示焦距为2的双曲线． 知识点二　直线与双曲线的位置关系 　设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0).② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2). Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 考法1　直线与双曲线位置关系的判断 [例2] 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试在下列条件下讨论实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． [解题笔记] 解：由消去y得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5， 故此时方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，且只有一个公共点． 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 当即－<k<，且k≠±1时， 方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个公共点． 当即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有一个公共点． 当即k<－或k>时，方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点． (1)当－<k<－1或－1<k<1或1<k<时，直线l与双曲线有两个公共点． (2)当k＝±1或k＝±时，直线l与双曲线有且只有一个公共点． (3)当k<－或k>时，直线l与双曲线没有公共点． [练2] 已知过点P(1，1)且斜率为k的直线l与双曲线x2－＝1只有一个公共点，试探究直线l的斜率k的取值． 解：由题意得l：