2.1.1 倾斜角与斜率（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 [对应学生用书P34] 学习目标 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念． 2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性． 3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 知识点一　直线的倾斜角 1．确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线l(如图)，如何利用坐标系确定它的位置？ 2．我们知道，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线，它们组成一个直线束(如图).这些直线的区别是什么？ 1．确定一条直线的条件 确定一条直线的条件是一点和一个方向． 规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向． 2．直线的倾斜角 前提条件 直线l与x轴相交 定义 以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α 特殊情况 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0° 取值范围 0°≤α<180° [例1] (1)下列说法中，正确的是(　　) A.若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B.若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C.若直线的倾斜角为α，则tan α>0 D.任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率 (2)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A.α＋40° B.α－140° C.140°－α D.当0°≤α<140°时为α＋40°；当140°≤α<180°时为α－140° (1)D　(2)D　解析：(1)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故A不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有当0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C，当0°≤α<90°时，tan α≥0，当90°<α<180°时，tan α<0，当α＝90°时，tan α不存在，故C不正确．故选D. (2)因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知， 当0°≤α<140°时，如图①所示，l1的倾斜角为α＋40°； 当140°≤α<180°时，如图②所示，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. [练1] 已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° C　解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 知识点二　直线的斜率 日常生活中，还有没有刻画倾斜程度的量呢？ 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率公式 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式为k＝． 3．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) 斜率(范围) α＝0° k＝0 0°<α<90° k>0 α＝90° 不存在 90°<α<180° k<0 4．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． [例2] (1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A．(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8) C．(2，0) D．(0，－8) (2)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝________． (3)已知某直线l的倾斜角α＝45°，且P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． [解题笔记] (1)B　(2)－1　解析：(1)设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，解得x＝2，y＝－8， ∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8). (2)由题设，＝(2，y＋3)，则＝λn且λ∈R，所以(2，y＋3)＝(－λ，－λ)，即y＋3＝－λ＝2，可得y＝－1. (3)解：∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1. ∵P1，P2，P3都在直线l上， ∴＝＝tan 45°，解得x2＝7，y1＝0. [练2] 设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m＝________． 答案：4　解析：依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1. 由kAC＝3kBC，得＝3， 解得m＝4. 综合应用：倾斜角与斜率的简单综合问题 [例3] 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，