2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 [对应学生用书P37] 学习目标 1.理解两条直线平行与垂直的条件． 2．能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直． 3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题． 知识点一　直线平行的判定 1．如图，对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？ 2．对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2? 两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 图示 对应 关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 [例1] 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5). [解题笔记] 解：(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1，则A，B，M不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故l1∥l2. [练1] 直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　) A．(3，0) B．(－3，0) C．(0，－3) D．(0，3) D　解析：∵k1＝2，l1∥l2，∴k2＝2.设P(0，y)，则k2＝＝y－1＝2，∴y＝3，即P(0，3). 知识点二　两条直线垂直的判定 1．设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，方向向量分别为a，b，试用k1，k2写出向量a，b的坐标． 2．如果l1⊥l2，那么方向向量a，b有什么关系？你会得出怎样的关系式？ 3．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？ 两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 [例2] (1)l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求实数a的值． [解题笔记] 解：(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意知，l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在． 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5， 此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意． 当l1的斜率k1存在时，a≠5，由斜率公式， 得k1＝＝，k2＝＝. 由l1⊥l2知k1k2＝－1，即×＝－1，解得a＝0. 综上所述，实数a的值为0或5. [练2] 两条相互垂直的直线l1，l2的斜率是方程x2－3x＋m－1＝0的两根，则m的值为(　　) A.1 B．－1 C.2 D．0 D　解析：kl1·kl2＝－1，即m－1＝－1，解得m＝0. 综合应用：两条直线平行与垂直的简单综合问题 [例3] 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状． [解题笔记] 解：由斜率公式得kOP＝＝t，kRQ＝＝＝t，kOR＝＝－，kPQ＝＝＝－. 所以kOP＝kRQ，kOR＝kPQ，从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形． [变式探究] 将本例中的四个点，改为“A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)”，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状． 解：由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图， 由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－. 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行． 又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD，