2.2.2 直线的两点式方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.2.2　直线的两点式方程 [对应学生用书P42] 学习目标 掌握直线方程的两点式和截距式，并会用它们求直线的方程． 知识点一　直线的两点式方程 已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出通过这两点的直线方程呢？ 名称 两点式方程 已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 直线方程 ＝ 适用范围 斜率存在且不为零 [例1] 若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________． 答案：－2　解析：由直线方程的两点式得＝， 即＝，∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， ∵点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，解得m＝－2. [练1] 三角形的三个顶点是A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，3)，求三角形三边所在直线的方程． 解：由两点式得，边AB所在直线方程为 ＝，即x＋4y＋1＝0； 同理，边BC所在直线方程为＝， 即2x＋y－5＝0； 同理，边AC所在直线方程为＝， 即3x－2y＋3＝0. 综上所述，直线AB的方程为x＋4y＋1＝0，直线BC的方程为2x＋y－5＝0，直线AC的方程为3x－2y＋3＝0. 知识点二　直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，如何求直线l的方程？ 名称 截距式方程 已知条件 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 直线方程 ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为零，不过原点 [例2] 求过点A(5，2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． [解题笔记] 解：当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，l的方程为y＝x，即2x－5y＝0； 当直线l在两坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为＋＝1，即x－y＝a， 又l过点A(5，2)，∴5－2＝a，解得a＝3， ∴l的方程为x－y－3＝0. 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0. [变式探究] 若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？ 解：当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，l的方程为y＝x，即2x－5y＝0； 当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1， 又l过点(5，2)，∴＋＝1，解得a＝. ∴l的方程为x＋2y－9＝0. 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0. [练2] (多选)过点(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　) A．y＝x B．x＋y＝5 C．y＝－x D．x＋y＋5＝0 AB　解析：设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b. 当a＝b≠0时，直线方程为＋＝1， ∴＋＝1，∴a＝5，∴直线方程为x＋y＝5， 当a＝b＝0时，k＝，∴直线方程为y＝x， 综上所述，直线方程为y＝x和x＋y＝5. 综合应用：直线方程的灵活运用 [例3] 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3).求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边的中线AD所在直线的方程． [解题笔记] 解：(1)∵B(2，1)，C(－2，3)， ∴由两点式得BC所在直线的方程为＝，即x＋2y－4＝0. (2)易得BC边的中点D的坐标为(0，2). ∵BC边的中线AD过点A(－3，0)，D(0，2)， ∴由截距式得AD所在直线的方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0. [练3] 已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，－2)，求直线l的方程． 解：方法一　设直线l的截距式方程为＋＝1， 把点(6，－2)代入得－＝1，化简整理得a2－3a＋2＝0，解得a＝2或a＝1， 故直线l的方程为＋＝1或＋y＝1. 方法二　设直线l的点斜式方程为y＋2＝k(x－6)(k≠0). 令x＝0，得y＝－6k－2；令y＝0，得x＝＋6.于是(＋6)－(－6k－2)＝1，解得k＝－或k＝－. 故直线l的方程为y＋2＝－(x－6)或y＋2＝－(x－6)，即y＝－x＋2或y＝－x＋1. ◎随堂演练 1．过点(2，4)，(2，－7)的直线方程是(　　) A．x＝2 B．y＝2 C．x＋y＝－3 D．x＋y＝4 A　解析：因为(2，4)，(2，－7)两点的横坐标相同，故其倾斜角为90°，所以其直线方程为x＝2. 2．在x，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是(　　) A．4x＋3y－12＝0 B．4x－3y＋12＝0 C．4x＋3y－1＝0 D．4x－3y＋1＝0 B　解析：根据直线方程的截距式写出直线方程＋＝1，化简得4x－3y＋12＝0，