2.2.1 直线的点斜式方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 [对应学生用书P39] 学习目标 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程． 2．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系． 3．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题． 知识点一　直线的点斜式方程 在平面直角坐标系内，如果给定一条直线l经过的一个点P0(x0，y0)和斜率k，能否将直线上所有的点的坐标P(x，y)满足的关系表示出来呢？ 直线的点斜式方程 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 [例1] 根据条件写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点A(－1，4)，倾斜角为45°； (2)经过点B(4，2)，倾斜角为90°； (3)经过原点，倾斜角为60°； (4)经过点D(－1，1)，与x轴平行． [解题笔记] 解：(1)∵k＝tan 45°＝1，∴直线方程为y－4＝x＋1. (2)直线斜率不存在，直线平行于y轴，所求直线为x＝4. (3)∵k＝tan 60°＝，且过原点，∴直线方程为y＝x. (4)直线斜率k＝0，∴直线方程为y＝1. [练1] 直线y＝x＋1绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程． 解：由题意知，直线y＝x＋1的斜率k＝1， ∴倾斜角为45°. 直线l的倾斜角为135°， ∴直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1. 又点P(3，4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3). [练2] 已知两点A(－1，2)，B(m，3)，求直线AB的点斜式方程． 解：由A(－1，2)，B(m，3)，可得 当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，没有点斜式方程； 当m≠－1时，直线AB的斜率k＝， 直线AB的点斜式方程为y－2＝(x＋1). 知识点二　直线的斜截式方程 经过定点(0，b)且斜率为k的直线l的方程如何表示？ 1．直线在y轴上的截距 把直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．直线的截距式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 方程式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 [例2] 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程． [解题笔记] 解：由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2， 又l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. [变式探究] 本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程． 解：∵l1⊥l，直线l1的方程为y＝－2x＋3， ∴直线l的斜率为. ∵l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2的方程为y＝4x－2， ∴l在y轴上的截距为2. ∴直线l的方程为y＝x＋2. [练3] 已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的斜截式方程． 解：设直线方程为y＝x＋b，则当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x＝－6b. 由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1. 综合应用：两条直线平行与垂直的综合应用 [例3] (1)已知直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，求a的值； (2)已知直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，求a的值． [解题笔记] 解：(1)由题意可知， ∵l1∥l2，∴解得a＝－1. 故当直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行时，a的值为－1. (2)由题意可知， ∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝. 故当直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直时，a的值为. [变式探究] 本例(1)中l2恒过哪个定点？过该定点且与l1平行的直线方程是什么？ 解：在y＝(a2－2)x＋2中，当x＝0时，y＝2. 故直线l2恒过定点(0，2). 当与l1平行时，斜率k＝－1. 故过(0，2)且与l1平行的直线方程为y＝－x＋2. [练4] 求经过点(0，2)，且与直线l1：y＝－3x－5平行的直线l2的方程； 解：由l1：y＝－3x－5得k1＝－3， 由两直线平行知k2＝k1＝－3， 所以所求直线方程为y－2＝－3x，即y＝－3x＋2. [练5] 求经过点(－2，－2)，且与直线l1：y＝3x－5垂直的直线l2的方程． 解：由l1：y＝3x－5得k1＝3， 由两直线垂直知k1k2＝－1，所以k2＝－. 所以所求直线