2.2.3 直线的一般式方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.2.3　直线的一般式方程 [对应学生用书P45] 学习目标 1.掌握直线的一般式方程． 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线． 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化． 知识点　直线的一般式方程 1．平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 2．任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ 直线的一般式方程 　(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义 ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． [例1] 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4，2)，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； (4)经过点A(－1，5)，B(2，－1)两点． [解题笔记] 解：(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0. (3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0. (4)由两点式得直线方程为＝，即2x＋y－3＝0. [练1] 直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是(　　) A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0 C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0 D　解析：直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)， ∵所求直线过点A且斜率为－， ∴所求直线的方程为y＋2＝－x，即x＋2y＋4＝0. 综合应用：直线一般式方程的应用 考法1：含参数的一般式方程 [例2] 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． [解题笔记] 解：(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1， 令y＝0，则x＝，∴＝－3，解得m＝－或m＝3(舍去)，∴m＝－. (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程得y＝x＋，则＝1，解得m＝－2或m＝－1(舍去)，∴m＝－2. [变式探究] 对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值． 解：∵直线l与y轴平行， ∴∴m＝. [练2] 已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标． 解：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立， 所以x＋y＝0①，x－y－2＝0②，由①得x＝－y③， 将③代入②可得－y－y－2＝0，解得y＝－1，即可得x＝1， 所以直线l经过定点，且定点坐标为(1，－1). 考法2：一般式下直线的平行与垂直问题 [例3] 已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0.求分别满足下列条件的m的值． (1) l1⊥l2； (2) l1∥l2. [解题笔记] 解：(1)∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0， ∴m＝－. (2)∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，∴m＝－3或m＝2， 当m＝－3时，l1∥l2； 当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去． ∴m＝－3. [练3] 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)当l1⊥l2时，求a的值； (2)在(1)的条件下，若直线l3∥l2，且l3过点A(1，－3)，求直线l3的方程． 解：(1)由a×1＋2×(a－1)＝0，解得a＝. ∴当l1⊥l2时，a的值为. (2)由(1)知，l2：3x－y－＝0. ∵l3∥l2，∴可设l3的方程为3x－y＋m＝0. 又l3过点A(1，－3)，∴3×1－(－3)＋m＝0，得m＝－6， ∴l3的方程为3x－y－6＝0. ◎随堂演练 1．直线＋＝1化成一般式方程为(　　) A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 C　解析：直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0. 2．若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线l不经过 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　解析：直线方程变形为y＝2x＋1，由图象(图略)可知直线经过第一、二、三象限． 3．设直线l1：kx－y＋1＝0，l2：x－ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝(