2.3.1 两条直线的交点坐标（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 [对应学生用书P47] 学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点一　两条直线的交点坐标 观察图形，思考下列问题： 1．在方程组中，每一个方程都可表示为一条直线，那么方程组的解说明什么？ 2．如何求上述两直线的交点坐标？ 两条直线的交点坐标 　已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 若两直线方程组成的方程组有唯一解则两直线相交，交点坐标为(x0，y0)． [例1] 过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________． 答案：3x＋19y＝0　解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0， 代入原点坐标，解得λ＝－， 故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0. [练1] 已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________． 答案：(－，2)　解析：由得 由得∴－<a<2. 知识点二　两条直线的位置关系 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行，能否判断对应方程组解的情况？ 两直线的位置关系 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，方程组解的组数与两条直线的位置关系如下： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 [例2] 分别判断下列直线是否相交．若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解题笔记] 解：(1) 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). (2) 这表明直线l1和l2重合． (3) 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. [练2] 直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是(　　) A． B．－ C．2 D．－2 B　解析：在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，解得k＝－. 综合应用：过两条直线交点的直线系方程问题 　(1)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). (2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. [例3] 求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． [解题笔记] 解：方法一(方程组法)　解方程组得P(0，2). 因为直线l3的斜率为，所以直线l的斜率为－. 所以直线l的方程为y＝－x＋2， 即4x＋3y－6＝0. 方法二(直线系数法)　设直线l的方程为4x＋3y＋m＝0. 解方程组得P(0，2). 因为直线l过直线l1与l2的交点P(0，2)， 所以4×0＋3×2＋m＝0，解得m＝－6. 所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. [变式探究] 将本例中的“垂直”改为“平行”，其他条件不变，求直线l的方程． 解：方法一(方程组法)　由本例解析可知P(0，2)，直线l的斜率为，故直线l的方程为y－2＝x，即3x－4y＋8＝0. 方法二(直线系法)　设直线l的方程为3x－4y＋n＝0. 由3×0－4×2＋n＝0，得n＝8. ∴直线l的方程为3x－4y＋8＝0. [练3] 求证：不论m取何实数，直线(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0都过一个定点，并求这个定点的坐标． 解：方法一　令m＝0，得x＋y－1＝0，① 令m＝1，得4x－y＋2＝0，② 把x＝－，y＝代入(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0的左边， 得(3m＋1)×(－)－(2m－1)＋3m－1＝0. ∴不论m为何值，直线(3m＋1)x－(2m－1)y＋3m－1＝0均过定点(－，). 方法二　方程可化为(x＋y－1)＋m(3x－2y＋3)＝0. ∴不论m为何实数，直线都恒过定点(－，). ◎随堂演练 1．下列各直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是(　　) A．2ax－ay＋6＝0(a≠0) B．y＝2x C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y－3＝0 D　解析：直线2x－y－3＝0的斜