2.3.2 两点间的距离公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．3.2　两点间的距离公式 [对应学生用书P49] 学习目标 1.掌握两点间距离公式并会应用． 2．用坐标法证明简单的平面几何问题． 知识点　两点间的距离公式 观察下面图形，思考后面的问题： 图1 图2 1．如何求图1中A，B两点间的距离？ 2．图2中能否用数轴上两点A，B间距离求出任意两点间距离？ 1．两点间的距离公式 平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 2．两点间距离的特殊情况 原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． [例1] 已知△ABC的三顶点坐标分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [解题笔记] 解：方法一　∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形． [练1] 试在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等． 解：由直线x－y＋4＝0，得y＝x＋4，点P在该直线上，所以可设P点的坐标为(a，a＋4). 由已知|PM|＝|PN|，所以＝， 即＝. 所以(a＋2)2＋(a＋8)2＝(a－4)2＋(a－2)2. 解得a＝－，从而a＋4＝－＋4＝，所以P(－，). 综合应用：用“坐标法”解决平面几何问题 用坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算； (2)如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． [例2] 如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. [解题笔记] 证明：如图，以BC边的中点为原点O，BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)(－b＜m＜b).则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，|BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2， ∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2， ∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. [练2] 用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立． 证明：取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设长方形ABCD的四个顶点为A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)， 则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2， |BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2， 所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2. ◎随堂演练 1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　) A．5 B． C． D．4 A　解析：|MN|＝＝5，故选A. 2．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 C　解析：|AB|＝＝5，解得a＝1或a＝－5. 3．等腰△ABC的顶点是A(3，0)，底边|BC|＝4，BC边的中点为D(5，4)，则腰长为________． 答案：2　解析：|BD|＝|BC|＝2，|AD|＝＝2，在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长为|AB|＝＝2. 4．点A在第四象限，若点A到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标． 解：由题意得，点A的纵坐标为－3，设A(x，－3)，则＝5，解得x＝±4. 又点A在第四象限，∴x＝4，∴A(4，－3). 学科网（北京）股份有限公司 $