1.1.1 空间向量及其线性运算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 [对应学生用书P1] 学习目标 1.理解空间向量的概念． 2．掌握空间向量的线性运算． 3．掌握共线向量定理、共面向量定理的应用． 知识点一　空间向量的有关概念 平面向量是什么？如何表示平面向量？你能类比平面向量的概念和表示给出空间向量的概念和表示吗？ 1．空间向量 (1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 2．空间向量的表示 (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示， (2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 3．几类特殊向量 特殊向量 定义 零向量 长度为0的向量，记为0 单位向量 模为1的向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，记为－a 共线向量 或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合． 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 方向相同且模相等的向量 [例1] (多选)下列命题错误的是(　　) A.在同一条直线上的单位向量都相等 B.只有零向量的模等于0 C.在空间四边形ABCD中，与是相反向量 D.在三棱柱ABC­A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个 ACD　解析：A错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；B正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；C错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反；D错误，在三棱柱ABC­A1B1C1中，与的模一定相等的向量是，，，，，一共有5个． [练1] (多选)下列命题正确的是(　　) A.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b B.若|a|＜|b|，则a＜b C.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝ D.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p CD　解析：对于A，向量a与b的方向不一定相同或相反，故A错误；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故B错误；对于C，根据相等向量的定义知，＝，故C正确；对于D，根据相等向量的定义知正确． 知识点二　空间向量的线性运算 在学习完平面向量的相关概念后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb [例2] 已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： [解题笔记] 解：(1)＋＋＝＋＋＝. (2)－＋＝－(－)＝－＝. (3)＋＋(－)＝＋(＋)＝＋′. 设M是线段CB′的中点，则＋＋(－)＝＋＝，向量，，如图所示． [变式探究] 若本例条件不变，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： 解：(1)＋＝＝＋，设P是线段CC′的中点，则＝＝. (2) ＝＝＋，设Q是线段的中点，则＝＝＝，向量，如图所示． [练2] 如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值． 解：(1)因为＝＝－＋＋， 又，所以x＝1，y＝－1，z＝1. (2)因为＝＝＝＋)＝＝＋＋，又＝， 所以x＝，y＝，z＝1. 知识点三　共线向量 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．直线的方向向量 (1)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． (2)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． [例3] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝，求证：E，F，B三点共线． [解题笔记] 证明：设＝a，＝b，＝c. ∵＝2，＝， ∴＝＝b，＝(－＝(＋－)＝a＋b－c. ∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c). 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， ∴＝，且有公共点E，∴E，F，B三点共线． [练3] 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． 解：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四