1.1.2 空间向量的数量积运算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.1.2　空间向量的数量积运算 [对应学生用书P5] 学习目标 1.掌握空间向量的数量积的定义，理解投影向量的概念． 2．理解空间向量的数量积的运算律：交换律和分配律，并可以与数的乘法相联系与区别． 3．可以结合实际问题，灵活运用相关知识解决问题． 知识点一　空间向量的夹角及数量积概念 学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？你能类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量吗？ 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 图示 范围 规定：0≤〈a，b〉≤π； 当〈a，b〉＝时，a⊥b 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)特别提醒：零向量与任意向量的数量积为0． [例1] 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·；(2)·；(3)·； (4)·. [解题笔记] 解：(1)·＝·＝||||cos〈，〉＝cos 60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝cos 120°＝－. (4)·＝·(－)＝·－·＝||·||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. [练1] 如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求： (1)·； (2)(＋)·(＋). 解：在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1.〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°. (1)·＝||||·cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝OA2＋2·－2·＋OB2－2·＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. 知识点二　空间向量数量积的运算性质及运算律 “若a·b＝a·c ，则b＝c”，你认为这种说法正确吗？ 当非零向量垂直时，a·b＝0，有人说“a＝显然是没有意义的”，你怎么看？ 性质 a⊥b⇔a·b＝0； a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2 运算律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； a·b＝b·a(交换律)； (a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律) [例2] 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长； (2)求与夹角的余弦值． [解题笔记] 解：(1)记＝a，＝b， ＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6， ∴||＝，即AC1的长为. (2) ＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， 即与夹角的余弦值为. [练2] 如图，在三棱锥A­BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN的长． 解：因为＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋， 所以2＝(－＋＋)2＝2－·－·＋·＋2＋2＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2， 所以||＝a，则MN的长为a. 知识点三　投影向量 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影，类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？ 投影向量 (1)向量a向直线l投影 (2)向量a向向量b投影 先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos 〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量 (3)向量a向平面β投影 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量 [例3] 如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，AD＝2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则||＝________；在上的投影向量是________． 答案：　　解析：由图可知＝＋＋，所以||＝|＋＋|＝ ＝， ·＝·＋·＋2＝4×3×cos 60°＋0＋×42＝14. 故在上的投影向量模长是＝＝， 在上的投影向量是·＝. [练3] (2022·江苏连云港检测)已知|a|＝3，|b|＝5，设a，b的夹角为135°，则b在a上的投影向量是(　　) A.－a