1.2 第1课时 空间向量基本定理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．2　空间向量基本定理 学习目标 1.掌握空间向量基本定理． 2．会用空间向量基本定理对向量进行分解． 3．会用基底法表示空间向量． 4．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想． 第1课时　空间向量基本定理 [对应学生用书P8] 知识点　空间向量基本定理 我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示(平面向量基本定理).对于任意一个空间向量，有没有类似的结论呢？ 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底 把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [例1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底． [解题笔记] 解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面． ∴此方程组无解． 即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面． 故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底． [练1] 已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________． 答案：0　解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使得xa＋yb＋c＝λ(a－b＋c).所以所以所以x＋y＝0. [例2] 如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. [解题笔记] 解：连接A′N(图略). ＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋(－)＋＝＋＋＝(a＋b＋c). ＝＝＝＋)＝. [变式探究] 若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 解：因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点， 所以＝(＋)＝a＋b. ＝(＋)＝(＋＋)＝＋＋＝＋(－)＋＝＋－＝b＋a－c. [练2] 如图所示，正方体OABC­O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示向量，； (2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示. 解：(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. ＝＋＝＋＋＝＋－＝b＋c－a. (2)方法一　连接OG，OH(图略)， 则＝＋＝－＋＝－(＋)＋(＋)＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b). 方法二　连接O′C，则＝＝(－)＝(c－b). ◎随堂演练 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是(　　) C　解析：只有选项C中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底． 2．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　) A．，，共线 B．，共线 C．，共线 D．O，A，B，C四点共面 D　解析：由题意知，向量，，共面，即O，A，B，C四点共面． 3．已知{a，b，c}是空间一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间另一个基底的是(　　) A．a B．b C．c D．p－2q C　解析：因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一个基底矛盾，故p，q，c不共面． 4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列关于的表达式中： 正确的个数是________． 答案：3　解析：＋＝＝＋≠，②不正确；＋＝＋)＋＝，④正确；①③明显正确． 学科网（北京）股份有限公司 $