1.3.2 空间向量运算的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [对应学生用书P14] 学习目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示． 2．掌握空间两点间距离公式． 3．会用向量的坐标解决一些简单的几何问题． 知识点一　空间向量的坐标运算 你能通过平面向量的坐标运算，类比出空间向量的坐标运算吗？ 空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 [例1] 已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3).求满足下列条件的点P的坐标． (1)＝(－)； (2)＝(－). [解题笔记] 解：＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)，∴－＝(6，3，－4). (1)＝(6，3，－4)＝(3，，－2)， 则点P的坐标为(3，，－2). (2)设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)， ∵(－)＝＝(3，，－2)， ∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为(5，，0). [练1] 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)，设p＝，q＝.求： (1)p＋2q；(2)3p－q； (3)(p－q)·(p＋q). 解：因为A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)， 所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6). (1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9). (2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15). (3)(p－q)·(p＋q)＝(0，1，9)·(4，1，－3)＝0＋1－27＝－26. 知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角 平面向量的坐标运算可以帮我们解决平面中平行、垂直、模长及角度等问题的证明与求值．那空间向量的坐标运算是否仍然可以帮助我们解决这些问题？ 1．空间向量平行、垂直、模长及夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 平行 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模长 |a| 夹角 cos 〈a，b〉 2．空间中两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1，P2两点间的距离P1P2＝||＝. [例2] 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4).设a＝，b＝. (1)设|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. [解题笔记] 解：(1)因为＝(－2，－1，2)且c∥， 所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)， 所以|c|＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±1. 所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2). (2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－. [变式探究] 将本例(2)中“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若ka＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值． 解：a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，a＋kb＝(1－k，1，2k)， 因为ka＋b与a＋kb平行，所以ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)， 综合应用：利用向量的坐标运算解决夹角、距离问题 [例3] 如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； (3)求证：BN⊥平面C1MN. [解题笔记] (1)解：如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz. 依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， ∴||＝＝， ∴线段BN的长为. (2)解：依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， ∴＝(1，－1，2)，CB1＝(0，1，2)， ∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又||＝，||