1.3.1 空间直角坐标系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 [对应学生用书P12] 学习目标 1.了解空间直角坐标系． 2．能在空间直角坐标系中写出所给点、向量的坐标． 知识点一　空间直角坐标系 能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？ 1．空间直角坐标系及相关概念 空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系 x轴、y轴、z轴都叫坐标轴 相关概念 O 叫做原点 三个坐标平面把空间分成八个部分 i，j，k 都叫做坐标向量 通过每两条坐标轴的平面 叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 知识点二　空间一点的坐标 平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数对表示．空间直角坐标系中每一个点和向量是否有类似的表示？ 1．空间中一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). [例1] 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标Oxyz； (2)求点N的坐标． [解题笔记] 解：(1)显然D(0，0，0)，因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，所以A(3，0，0). 同理，可得C(0，4，0)，D1(0，0，5). 因为点B在坐标平面Oxy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3，4，0).同理可得A1(3，0，5)，C1(0，4，5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3，4，5). (2)由(1)知C(0，4，0)，C1(0，4，5)，则C1C的中点N为(，，)，即N(0，4，). [练1] 如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标． 解：由题意知，点B的坐标为(1，1，0)， 由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1，0)， 由点C与点B关于y轴对称，得C(－1，1，0)， 由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1，0). 又P(0，0，2)，E为AP的中点，F为PB的中点， 所以由中点坐标公式可得E(，－，1)，F(，，1). [例2] 如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标． [解题笔记] 解：∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴，，是两两垂直的单位向量． 设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz. 如图所示， ∵＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋(＋＋)＝＋＝e2＋e3，∴＝(0，，). [练2] 已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，， 的坐标． 解：设＝i，＝j，＝k，以{i，j，k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， ＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)， ＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)， ∴＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4). ◎随堂演练 1．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　　) A.(1，0，0) B．(1，0