1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [对应学生用书P18] 学习目标 1.能用向量语言描述点、直线和平面． 2．理解直线的方向向量，会求平面的法向量． 知识点一　点的位置向量 如何用向量表示空间中的一个点？ 在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用向量来表示．我们把向量称为点 P 的位置向量． 知识点二　空间中直线的向量表示 我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用向量表示直线l? 空间直线的向量表示 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t 如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线 l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 将＝a代入①式，得＝＋t.② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 结论：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． [例1] (1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A.0 B．1 C． D．3 (2)在如图所示的坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． (1)A　(2)(0，0，1)(答案不唯一)　(0，1，1)(答案不唯一) 解析：(1)∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，∴＝(－1，2－y，z－3)，∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－，y＝z＝.∴y－z＝0. (2)∵DD1∥AA1，＝(0，0，1)，直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； BC1∥AD1，＝(0，1，1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1). [练1] (多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A.(2，2，6) B．(1，1，3) C.(3，1，1) D．(－3，0，1) AB　解析：∵M，N在直线l上，∴＝(1，1，3)， 故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量． [练2] 从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　) A.(18，17，－17) B．(－14，－19，17) C.(6，，1) D．(－2，－，13) A　解析：设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因为||＝34，即＝34，解得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17. 知识点三　空间平面的向量表示与平面的法向量 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 1．空间平面的向量表示 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y. 该式称为空间平面ABC的向量表示式 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 2．平面的法向量 如图，直线l⊥α.取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0} [例2] 已知平面α经过三点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，求平面α的一个法向量． [解题笔记] 解：因为A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)， 所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3). 设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则有即得z＝0，x＝2y， 令y＝1，则x＝2， 所以平面α的一个法向量为n＝(2，1，0). [练3] (多选)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中成立的是(　　) A.·＝0 B．·＝0 C.·＝0 D．·＝0 ABD　解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥CD，BD⊥PA.又AC⊥BD，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立． ◎随堂演练 1．(多选)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　) 答案：BC 2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)