1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第3课时　空间中直线、平面的垂直 [对应学生用书P23] 学习目标 1.能利用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系． 2．利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． 知识点一　线线垂直的向量表示 如何用直线的方向向量判断两条直线垂直？ 直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别是u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． [例1] 如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. [解题笔记] 证明：方法一　设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0， ＝a＋c，＝(a＋b)，＝b＋c， ＝－＝－a＋b＋c， ∴·＝(a＋c)·(－a＋b＋c)＝－＋cos 60°＋0－0＋0＋＝0. ∴⊥，∴AB1⊥MN. 方法二　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得A(－，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，N(0，，)，B1(，0，1)， ∵M为BC的中点，∴M(，，0). ∴＝(－，，)，＝(1，0，1)， ∴·＝－＋0＋＝0. ∴⊥，∴AB1⊥MN. [练1] 若直线l1的方向向量为u1＝(1，3，2)，直线l2上有两点A(1，0，1)，B(2，－1，2)，则两直线的位置关系是________． 答案：垂直　解析：因为＝(1，－1，1)，又u1·＝(1，3，2)·(1，－1，1)＝0，所以两直线位置关系为垂直． 知识点二　线面垂直的向量表示 如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面的垂直关系？ 直线与平面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． [例2] 如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD. [解题笔记] 证明：取BC的中点O，B1C1的中点O1，以O为原点，以， ，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0). 所以＝(1，2，－)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0). 方法一　因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0， ·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0. 所以⊥，⊥， 即AB1⊥BA1，AB1⊥BD. 又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD. 方法二　设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥， 令x＝1，则y＝2，z＝－， 故n＝(1，2，－)为平面A1BD的一个法向量， 而＝(1，2，－)，所以AB1＝n， 所以∥n，故AB1⊥平面A1BD. [练2] 如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：PB1⊥平面PAC. 证明：依题设，以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则C(1，0，0)，P(0，0，1)，A(0，1，0)，B1(1，1，2)， 于是＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(1，1，1)， ∴·＝(－1，1，0)·(1，1，1)＝0， ·＝(－1，0，1)·(1，1，1)＝0， 故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA， 又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC. 故直线PB1⊥平面PAC. 知识点三　面面垂直的向量表示 由平面与平面的垂直关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ 平面与平面垂直 　设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． [例3] 在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. [解题笔记] 证明：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E(，，). 方法一　如图，连接AC，BD并相交于点O，连接OE， 则点O的坐标为(，，0).易知＝(0，0，1)，＝(0，0，)，所以＝，所以OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，所以OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD. 方法二　设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z). 易知＝(－1，1，0)，＝(－，，)，所以 即 令x＝1，得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0). 因为AS⊥底面ABCD， 所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1).