1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 [对应学生用书P27] 学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角． 2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、二面角的关系． 知识点一　异面直线所成的角 如何用向量方法解决两条异面直线之间的夹角问题？ 用向量法研究异面直线所成的角 　若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos_〈u，v〉|＝||＝. [例1] 已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． C　解析：以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由已知条件知B1(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(1，0，0)，A(－1，，1)，则＝(1，0，－1)， ＝(1，－，－1). 所以＝. 所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为. [练1] 如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 解：因为AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0).在Rt△VCD中，CD＝，∠VDC＝，所以VC＝，故V(0，0，). 所以＝(－2，0，0)，＝(1，1，－). 所以cos 〈，〉＝＝＝－. 所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为. 知识点二　直线与平面所成的角 如何用向量法求直线 l 和平面α的夹角？ 直线与平面所成的角 图示 公式 sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝||＝ [例2] 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点． (1)求证：PB⊥DM； (2)求BD与平面ADMN所成的角． [解题笔记] (1)证明：如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系， 设BC＝1，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，1，0)，M(1，，1). ＝(2，0，－2)，＝(1，－，1)，＝(0，2，0)，＝(2，－2，0)， ∵·＝(2，0，－2)·(1，－，1)＝0， ∴⊥，∴PB⊥DM. (2)解：∵·＝(2，0，－2)·(0，2，0)＝0， ∴⊥，∴PB⊥AD. 又PB⊥DM，∴PB⊥平面ADMN. 即为平面ADMN的一个法向量． ∵cos 〈，〉＝＝＝， 设直线BD与平面ADMN所成的角为θ， ∴sin θ＝|cos 〈，〉|＝， ∴BD与平面ADMN所成的角为. [练2] 如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的底面相交，交线围成一个正方形． (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF与平面α所成角的正弦值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF如图： (2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，所以AH＝10.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则A(10，0，0)，H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(0，4，8)， ＝(10，0，0)，＝(0，－6，8). 设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量， 则即 所以可取n＝(0，4，3).又＝(－10，4，8)， 故|cos 〈n，〉|＝＝. 所以AF与平面α所成角的正弦值为. 知识点三　平面与平面的夹角 如何用向量方法求平面α和平面β的夹角？ 平面与平面的夹角 定义 平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角 图示 公式 cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝||＝ [例3] 如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥平面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值． [解题笔记] (1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD