1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 [对应学生用书P25] 学习目标 1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导． 2．了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想． 知识点一　点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，则点P到直线l的距离PQ＝． [例1] 已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． [解题笔记] 解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量＝(－4，3，0)，＝(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离 [练1] 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离． 解：因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直线A′C的方向向量＝(1，2，－3). 又＝(0，2，0)， 所以在上的投影长为. 所以点B到直线A′C的距离 知识点二　点到平面的距离 如图，平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，从向量投影的角度来看，点P到平面α的距离可以看成什么？对应的表达式是什么？ 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离为PQ＝＝||＝． [例2] 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． [解题笔记] 解： (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，，0)，F(，1，0)，＝(0，0，1)， 则＝(1，，－1)，＝(，1，－1). 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0，n·＝0， 所以，， 令y＝2，则n＝(2，2，3)， 所以点D到平面PEF的距离d＝＝＝. (2)由于E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC， 所以AC∥平面PEF，所以A点到平面PEF的距离即为直线AC到平面PEF的距离． 由于＝(0，，0)，又由(1)知平面PEF的法向量为n＝(2，2，3)， 所以点A到平面PEF的距离为＝＝.又AC∥平面PEF， 即直线AC到平面PEF的距离为. [练2] 在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点． (1)求证：DE∥平面PFB； (2)求直线DE到平面PFB的距离． (1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，2)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1). ＝(－1，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，1，1)， ∴＝＋， 又DE⊄平面PFB，∴DE∥平面PFB. (2)解：由(1)知DE∥平面PFB， ∴点E到平面 PFB的距离等于直线DE到平面PFB的距离． 设平面PFB的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝2，得y＝－1，z＝1. ∴n＝(2，－1，1)，又＝(－1，0，0)， ∴点D到平面PFB的距离d＝＝＝. ∴直线DE到平面PFB的距离为. ◎随堂演练 1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． D　解析：＝(1，2，－4)，点P到平面α的距离d＝＝＝. 2．若三棱锥P­ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A． B． C． D． D　解析：分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，则d＝＝. 3．已知空间中三点A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－1，－1，2)，则点C到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． C　解析：因