第1章 阶段复习提升课 空间向量及其运算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量及其运算 [对应学生用书P17] 考点一　空间向量的概念及线性运算 [练1] 如图，在三棱锥O­ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　) A.(－a＋b＋c) 　　　 B．(a＋b－c) C.(a－b＋c) 　　　 D．(－a－b＋c) B　解析：＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c). [练2] 已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　) A. B．－2 C.0 D．或－2 B　解析：当m＝0时，a＝(1，3，－1)，b＝(2，0，0)，a与b不平行，∴m≠0，∵a∥b，∴＝＝，解得m＝－2. [练3] 在空间四边形ABCD中，＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　) A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3) C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1) B　解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以＝－，＝(＋)，＝(＋)，所以＝(＋)－(＋)＝(＋)＝[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3). 考点二　共线向量、共面向量定理的应用 1．证明空间三点P，A，B共线的方法 (1)＝λ(λ∈R)； (2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)； (3)对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1). 2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)； (4)∥ (或∥或∥). [练4] 若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________． 答案：－3　解析：∵＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ. 即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)， ∴m＋n＝－3. [练5] 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋). (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由已知＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－).即＝＋＝－－， ∴，，共面． (2)由(1)知，，共面且过同一点M， ∴四点M，A，B，C共面， 从而点M在平面ABC内． 考点三　空间向量数量积的应用 1．利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置． 2．利用夹角公式，可以求异面直线所成的角． 3．可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解． [例] 如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD. [解题笔记] (1)解：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝. ∴线段AC1的长为. (2)解：设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， ∵＝a＋b＋c，＝b－c， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， ||＝＝＝＝. 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)证明：∵＝c，＝b－a， ∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0， ∴⊥，∴AA1⊥BD. [练6] 已知正三棱柱ABC­A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值． 解：(1)设正三棱柱的侧棱长为h， 由题意得A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，B1(，0，h)，C1(0，1，h)， 则＝(，1，h)，＝(－，1，h)， 因为AB1⊥BC1，所以·＝－3＋1＋h2＝0， 所以h＝.所以三棱柱的侧棱长为. (2)由(1)可知＝(，1，)，＝(－，1，0)， 所以·＝－3＋1＝－2. 因为||＝，||＝2， 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $