第1章 阶段复习提升课 空间向量在立体几何中的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量在立体几何中的应用 [对应学生用书P31] 考点一　用空间向量证明平行与垂直 用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． [例1] 在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． (1)求证：BM∥平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． [解题笔记] (1)证明：以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)， ∵＝(0，1，1)，平面PAD的一个法向量为n＝(1，0，0)， ∴·n＝0，即⊥n， 又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD. (2)解：由(1)知，＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)， 假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD. 设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)， 从而MN⊥BD，MN⊥PB，∴ 即∴∴N(0，，)， ∴在平面PAD内存在一点N(0，，)，使MN⊥平面PBD. [练1] 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论． 解：在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE，证明如下： 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1， 则A1(0，0，1)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，E(0，1，)， ＝(－1，0，1)，＝(－1，1，)， 设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量， 所以x＝z，y＝z，取z＝2，得n＝(2，1，2). 设棱C1D1上存在点F(t，1，1)(0≤t≤1)满足条件， 又因为B1(1，0，1)，所以＝(t－1，1，0). 而B1F⊄平面A1BE， 于是B1F∥平面A1BE，即·n＝0，可得(t－1，1，0)·(2，1，2)＝0，解得t＝，故F为C1D1的中点． 即在棱C1D1上存在点F为C1D1的中点，使B1F∥平面A1BE. 考点二　利用空间向量求距离 1．求点到平面的距离，常常利用向量法，转化为求平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度． 2．求直线到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则． [例2] 三棱锥P­ABC中，PA＝4，AB＝2，BC＝2，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为AC中点，点E在棱PC上(端点除外).过直线DE的平面α与平面PAB垂直，平面α与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形． (1)在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)； (2)若PE＝3EC，求点C到平面α的距离． [解题笔记] 解：(1)取AB的中点M，连接DM，作EF∥BC交PB于点F，连接MF，则四边形DMFE即为所求．如图所示． (2)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2， 所以AC＝4，∠BAC＝30°，AM＝AB＝， 所以M(，，0)，D(0，2，0)，C(0，4，0)， 因为PA＝4，AC＝4，PE＝3EC， 所以E(0，3，1)，故＝(0，－1，1)， ＝(，－，0)，＝(0，1，1). 设平面DME的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则有即 令x＝1，则y＝，z＝－， 所以m＝(1，，－). 所以点C到平面α的距离d＝＝＝. [练2] 如图所示，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的高． 解：设正四棱柱的高为h(h＞0)，建立如图所示的空间直角坐标系， 有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)， 则＝(1，0，－h)，＝(0，1，－h)，＝(1，1，0)， 设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)， 取z＝1，得n＝(h，h，1)， 所以点C到平面AB1D1的距离为d＝＝＝， 解得h＝2. 故四棱柱ABCD­A1B1C1D1的高为2. 考点三　利用空间向量求空间角 用向量法求空间角应注意的问题 　(1)异面直线所成的角：两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成的角求解． (2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦c