第2章 课时梯级训练(21) 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(21)　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离 1．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于(　　) A． B．－ C．－ D．或－ D　解析：由＝1，解得m＝或－，故选D. 2．直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为(　　) A．－1 B．19 C．－1或19 D．无法确定 C　解析：由两平行线间距离公式得＝，解得c＝－1或c＝19. 3．(多选)点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(2，－1) D．(－1，2) AC　解析：设点P的坐标为(a，5－3a)，由题意知d＝＝，解得a＝1或a＝2，所以点P的坐标为(1，2)或(2，－1). 4．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 A　解析：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3. 5．若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A．1 B． C． D．2 B　解析：由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得|AB|＝＝. 6．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________． 答案：5　解析：两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离d＝|－2－3|＝5. 7．直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________． 答案：(5，－3)　解析：由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小．直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，解方程组得∴所求点的坐标为(5，－3). 8．求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l的方程． 解：方法一　∵点A(1，1)与B(－3，1)到y轴的距离不相等， ∴直线l的斜率存在，设为k. 又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0. 由点A(1，1)与B(－3，1)到直线l的距离相等， 得＝，解得k＝0或k＝1. ∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0. 方法二　当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等． ∵AB的中点是(－1，1)，又直线l过点P(0，2)， ∴直线l的方程是x－y＋2＝0； 当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等． ∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0， ∴直线l的方程为y＝2. 综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2. 9．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程． 解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)， 则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)， ∴|AD|＝，|BC|＝b. 梯形的高h就是A点到直线l2的距离， 故h＝＝＝(b>1)， 由梯形面积公式得×＝4， ∴b2＝9，b＝±3，又b>1，∴b＝3. 从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0. 10．点P(2，3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d为最大时，d与a的值分别为(　　) A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1 C　解析：将直线方程整理为a(x＋y)＋(3－y)＝0，可得直线恒过点A(－3，3)，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时距离最大，最大值为dmax＝＝5，此时a＝1.故选C. 11．已知点M(a，b)在直线3x＋4y－20＝0上，则的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　解析：因为点M(a，b)在直线3x＋4y－20＝0上，则|OM|＝表示原点与M之间的距离，最小值为原点到直线3x＋4y－20＝0的距离d＝＝4. 12．已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________． 答案：(－1，0)或(，8)　解析：由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x，3x＋3)，利用点到直线的距离公式可求得x＝－1或x＝.故C的坐标为(－1，0)或(，8). 13．经过点P(－3，4)，且与原点的距离等于3的直线l