第2章 课时梯级训练(20) 两点间的距离公式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(20)　两点间的距离公式 1．已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是(　　) A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5 B　解析：设所求点为P(x，y)，则|AP|＝|BP|，即＝，化简得4x－2y＝5. 2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则AB的长为(　　) A．10 B．5 C．8 D．6 A　解析：设A(a，0)，B(0，b)，又中点M(3，4)，则＝3，＝4，∴a＝6，b＝8，∴A(6，0)，B(0，8)，∴|AB|＝＝10. 3．(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是(　　) A．(2，0) B．(6，4) C．(4，6) D．(0，2) AC　解析：设B(x，y)，由题意得×＝－1，＝，化简得3x－y－6＝0，(x－3)2＋(y－3)2＝10，联立解得或∴B(2，0)或(4，6). 4．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________． 答案：　解析：因为kAB＝＝b－a＝1，所以|AB|＝＝. 5．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________． 答案：　解析：由题意可知BC的中点坐标为(0，1)，则BC边上的中线长为＝. 6．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　　) A． B． C． D． C　解析：直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0，过定点B(－1，)，由两点间的距离公式，得|AB|＝. 7．已知A(1，4)，B(8，3)，点P在x轴上，则使|AP|＋|BP|取得最小值的点P的坐标是(　　) A．(4，0) B．(5，0) C．(－5，0) D．(－4，0) B　解析：∵A(1，4)关于x轴的对称点为A′(1，－4)，∴A′B所在的直线方程为y＝x－5，令y＝0得x＝5，∴P(5，0). 8．求证：等腰梯形的对角线相等． 证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． 设A(－a，0)，D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a，0)，C(－b，c). 则|AC|＝＝， |BD|＝＝， ∴|AC|＝|BD|，即等腰梯形的对角线相等． 9．对任意实数a，b，c，d，求证：＋≥. 证明：在平面直角坐标系中，设点A(a，c)，B(b，d)， 则有|AB|＝，|OA|＝， |OB|＝， 若O，A，B三点不共线，则构成△AOB，有|OA|＋|OB|>|AB|； 若O，A，B三点共线，且O在线段AB之间，有|OA|＋|OB|＝|AB|. 综上可知，|OA|＋|OB|≥|AB|， 即＋≥，∴原不等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $