第2章 课时梯级训练(15) 两条直线平行和垂直的判定（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(15)　两条直线平行和垂直的判定 1．在直角坐标平面内有两点A(4，2)，B(1，－2)，在x轴上有点C，使∠ACB＝90°，则点C的坐标是(　　) A．(3，0) B．(0，0) C．(5，0) D．(0，0)或(5，0) D　解析：设C(a，0)，则·＝－1，解得a＝0或a＝5， ∴点C的坐标为(0，0)或(5，0).故选D. 2．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率为(　　) A． B．a C．－ D．－或不存在 D　解析：当a≠0时，由l1⊥l2，得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－.当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，k2不存在． 3．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 C　解析：kAB＝＝－，kAC＝＝，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．故此三角形是以A点为直角顶点的直角三角形． 4．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　) A．20°，110° B．70°，70° C．20°，20° D．110°，20° A　解析：如图，∵l∥l1，∴l1的倾斜角为20°， ∵l2⊥l，∴l2的倾斜角为90°＋20°＝110°. 5．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为________． 答案：45°　解析：由题意知，PQ⊥l，即kPQ＝＝－1， 解得kl＝1，即tan α＝1.故α＝45°. 6．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线满足下列条件？ (1)倾斜角为135°； (2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行． 解：(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，解得m＝－或m＝1. (2)由kAB＝，且＝3，则＝－，解得m＝或m＝－3. (3)由题意可知直线AB斜率存在．令＝＝－2，解得m＝或m＝－1. 7．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值． 解：如图所示， 直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， 所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝， 又直线AB的斜率kAB＝＝， 所以线段AB的垂直平分线l2的斜率k2＝. 因为l1与l2平行，所以k1＝k2，即＝，解得m＝4＋. 8．(多选)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则下面四个结论正确的是(　　) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QS D．PR⊥QS ABD　解析：由斜率公式知，kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故ABD正确． 9．(多选)如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，则下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) BCD　解析：如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选BCD. 10．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，使直线CD⊥AB，且CB∥AD的点D的坐标为________． 答案：(0，1)　解析：设D的坐标为(x，y)，则kCD＝，kAB＝3，kCB＝－2，kAD＝，∵kCD·kAB＝－1，kAD＝kCB，∴·3＝－1，＝－2，∴x＝0，y＝1，即D的坐标为(0，1). 11．已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4). (1)求点D的坐标； (2)试判定▱ABCD是否为菱形． 解：(1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以解得 所以D的坐标为(－1，6). (2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． 12．如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD为5 m，宽AB为3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两