第2章 课时梯级训练(14) 倾斜角与斜率（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(14)　倾斜角与斜率 1．下列各图中，α能表示直线l的倾斜角大小的是(　　) A．①④ B．①② C．①③ D．②④ C　解析：①③中直线的倾斜角为α，故选C. 2．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角α为(　　) A．60° B．30° C．60°或120° D．30°或150° C　解析：由题意知|tan α|＝，即tan α＝或tan α＝－，故直线l的倾斜角为60°或120°. 3．(多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(　　) A．k1<k3<k2 B．k3<k2<k1 C．α1<α3<α2 D．α3<α2<α1 AD　解析：由题意知，k2>k3>0，k1<0，故>α2>α3>0，且α1为钝角，故选AD. 4．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D　解析：当l向上方向的部分在y轴左侧时，如图①所示，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，如图②所示，倾斜角为90°－α.故选D. 5．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是__________． 答案：[0，2]　解析：如图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0，2]. 6．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________． 答案：0　解析：如图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0. 7．若n＝(－，1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角为________． 　解析：由n＝(－，1)是直线l的一个法向量，可知直线l的一个方向向量为(1，).设直线l的倾斜角为α，可得直线l的斜率k＝tan α＝.所以直线l的倾斜角α＝. 8．求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 解：当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝. ①当m>1时，k＝>0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°<α<90°}． ②当m<1时，k＝<0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是{α|90°<α<180°}． 综上，当m＝1时，直线斜率不存在，倾斜角α＝90°；当m＞1时，直线斜率k＝，倾斜角α的取值范围为0°＜α＜90°；当m＜1时，直线斜率k＝，倾斜角α的取值范围为90°＜α＜180°. 9．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线． 证明：∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)， ∴kAB＝＝2，kAC＝＝2. ∴kAB＝kAC. ∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，∴直线AB与直线AC为同一直线． ∴A，B，C三点共线． 10．若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　) A．[0，] B．[，] C．[0，]∪(，π) D．[，π) C　解析：∵直线的斜率k∈(－∞，]，∴k≤tan ，∴该直线的倾斜角α的取值范围是[0，]∪(，π).故选C. 11．若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是________． 答案：－　解析：设P(a，b)为l上任一点，经过平移后，点P到达点Q(a－3，b＋1)，此时直线PQ与l重合，故l的斜率k＝kPQ＝＝－. 12．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为________． 答案：　解析：如图，设直线AB与x轴的交点为C，则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°. 所以kAB＝kAC＝tan 30°＝. 13．光线从点A(－2，)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，2)，则光线BC所在直线的倾斜角为________． 答案：60°　解析：点A(－2，)关于x轴的对称点为A′(－2，－)，由物理知识知kBC＝kA′C＝＝，所以光线BC所在直线的倾斜角为60°. 14．如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率． 解：因为OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角都是60°， 斜率都是tan 60°＝；