第1章 课时梯级训练(7) 空间向量及其运算（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(7)　空间向量及其运算 1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．2 D　解析：由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2. 2．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　) A．9 B．－9 C．－3 D．3 B　解析：由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，∴解得λ＝－9. 3．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． D　解析：∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1，1，2)，∴cos 〈a，b〉＝＝＝，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选D. 4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 C　解析：∵M为BC中点，∴＝(＋)，∴·＝(＋)·＝·＋·＝0. ∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形． 5．如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． D　解析：∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝. 6．已知四面体P­ABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，||＝1，||＝2，||＝3，则|＋＋|＝________． 答案：5　解析：由已知可得·＝1×2×cos 60°＝1，·＝2×3×cos 60°＝3，·＝1×3×cos 60°＝，∴|＋＋|＝＝＝5. 7．已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2). (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝＝5. (2)＝(1，－1，－2)，令＝t (t∈R)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝. 因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为(－，－，). 8．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________． 答案：[0，1]　解析：如图所示， 由题意，设＝λ，其中λ∈[0，1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝AB2＋λ·＝1＋λ·(－)＝1－λ∈[0，1].因此·的取值范围是[0，1]. 9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝，则VA与平面PMN的位置关系是________． 答案：平行　解析：如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c－b， 由题意知＝－＝b－c，＝－＝a－b＋c.因此＝＋，所以，，共面． 又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN. 10．构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状和大小由它的棱长a，b，c及共顶点的三条棱两两之间的夹角α，β，γ(合称为“晶胞参数”)来表示．如图是某种晶体的晶胞的示意图，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，则体对角线AC1的长为________． 答案：　解析：连接AC(图略)，易知＝＋＋＝＋＋，由题可知||＝2，||＝||＝1，α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD＝90°，∠BAD＝180°－γ＝60°.因为＝2＋2＋＋2·＋2·＋2·＝4＋1＋1＋2×2×1×cos 60°＋2×2×1×cos 60°＋2×1×1×cos 90°＝10，故||＝. 11．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，C1N＝λ，且AB1⊥MN，求λ的值． 解：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系． 因为底面边长为1，侧棱长为2，所以A(0，，0)，B1(－，0，2)，C(，0，0)，C1(，0，2)，M(0，0，0)，因为＝λ， 所以N(，0，)，所以＝(－，－，2)，＝(，0，).又因为AB1⊥MN，所以·＝0.所以－＋＝0，所以λ＝15. 12．如图，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC