第1章 课时梯级训练(4) 空间向量基本定理的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(4)　空间向量基本定理的应用 1．(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是(　　) A．＝2－－ B．＝＋－ C．＝＋＋ D．＝＋＋ BD　解析：根据“＝x＋y＋z ，若 x＋y＋z＝1，则点M与点A，B，C 共面”，因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1，1＋1＋(－1)＝1，1＋＋＝≠1，＋＋＝1，由此可知，BD满足要求． 2．如图，已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P，Q，R，S所得图形是(　　) A．长方形 B．正方形 C．梯形 D．菱形 D　解析：因为＝－＝－＝. 同理＝，所以＝， 所以四边形PQRS为平行四边形． 又＝－＝－＝， 所以||＝||，即PS＝BD. 又||＝||， 故PQ＝AC，而AC＝BD， 所以PS＝PQ，故四边形ABCD为菱形． 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　　) A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定 B　解析：＝＋＋，＝＋＝－(＋)，设正方体的棱长为1，于是·＝(＋＋)·(－－)＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即垂直． 4．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　　) A．0 B． C． D． A　解析：根据题意可得， ＋＋)·(＋＋)＝· ＝＝×4－1－×4＝0，从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0. 5．如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________． 答案：　解析：∵＝＋＋，∴ ＝2＋2＋＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2×1×1×(－)＋2×1×1×(－)＋2×1×1×＝2，∴＝. 6．如图，在空间四边形ABCD 中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线AB与CD所成角的大小是________． 答案：　解析：依题意可知CD＝＝， ·＝·(－)＝·－·＝0＋·＝||·||·cos 45°＝1. 设直线AB与CD所成角为α， 则cos α＝||＝＝，故α＝. 7．已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN. 证明：如图，取向量，，为空间的一个基底，则＝(＋)，＝(＋).所以＝－＝(＋)－＝(＋－)，＝－＝(＋)－＝(＋－). 又因为＝－，所以＝(＋)，＝(－)， 所以·＝(＋)·(－)＝(||2－||2)， 又因为||＝||，所以·＝0，即PM⊥QN. 8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC. 证明：不妨设正方体的棱长为1，＝a，＝b，AA1＝c， 则这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底， 且|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝a·c＝0. ∵＝＋＝－－＝－b－c， ＝＋＝－＋＝a－c， B1O＝＋＝－c＋(－a＋b)＝－a＋b－c， ∴·＝(－b－c)·(－a＋b－c)＝a·b－b2＋b·c＋a·c－b·c＋c2＝0， ·＝(a－c)·(－a＋b－c)＝－a2＋a·b－a·c＋a·c－b·c＋c2＝0. ∴⊥，⊥．∴PA⊥B1O，PC⊥B1O. 又PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，∴B1O⊥平面PAC. 9．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　) A．30° B．45° C．90° D．60° D　解析：因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点， 所以＝－＝(－)，＝＋， 所以·＝(－)(＋)＝， 设所求异面直线的夹角为θ，则cos θ＝＝，所以θ＝60°. 10．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求OE与BF所成角的余弦值． 解：设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1， 易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝， 则a·b＝b·c＝c·a＝. 因为＝(＋)＝(a＋b)， ＝－＝－＝c－b，||＝||＝， 所以·＝(a＋b)·(c－b)＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－， 所以cos 〈，〉＝＝＝－. 所以OE与BF所成角的余弦值为. 11．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，A