第1章 课时梯级训练(2) 空间向量的数量积运算（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(2)　空间向量的数量积运算 1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中正确的有(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|＝ C．a2b＝b2a D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 BD　解析：由于数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质知B正确；C中，|a|2b＝|b|2a不一定成立；D运算正确． 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量与向量的夹角是(　　) A．150° B．135° C．45° D．30° B　解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， ∵AB∥A1B1，AC∥A1C1， ∴∠C1A1B1的补角即为向量与向量的夹角． ∵△C1A1B1为等腰直角三角形， ∴∠C1A1B1＝45°，∴向量与向量的夹角为180°－45°＝135°，故选B. 3．已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　) A．12 B．8＋ C．4 D．13 D　解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×(－)＝13. 4．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 A　解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D.又因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C，故选A. 5．已知|a|＝4，向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则向量a在向量e方向上的投影向量是________． 答案：－2e　解析：由题意|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝，则向量a在向量e方向上的投影向量为|a|cos 〈a，e〉e＝4×(－)e＝－2e. 6．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是________． 答案：　解析：由于＝＋＋，所以||＝＝＝， 即EF的长是. 7．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________． 答案：　解析：|a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5.∴|a－b＋2c|＝. 8．已知四面体OABC的所有棱长均为1.求： (1)〈，〉； (2)|＋＋|. 解：(1)∵·＝·(＋)＝·＋·＝0，∴〈，〉＝90°. (2)|＋＋|＝＝＝. 9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1. (1)求〈，〉的余弦值； (2)求证：⊥. (1)解：＝＋＝＋， ＝＋＝＋＝－. 因为·＝0，·＝0，·＝0， 所以·＝(－)·(＋)＝. 又||＝||＝，所以cos 〈，〉＝. (2)证明：＝＋＝－＋， ＝＋＝－(＋)， 所以·＝0，所以⊥. 10．(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列命题正确的是(　　) AB　解析：如图所示， (AA1＋＋)2＝＝＝32；)＝＝0；与的夹角是夹角的补角，而与的夹角为60°，故的夹角为120°；正方体的体积为||||||.综上可知，AB正确． 11．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 C　解析：因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12. 12．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1·＝________． 答案：1　解析： ＝＋A1O1＝＋( ＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(||2＋||2)＝1. 13．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则所成角的大小为________，＝________． 答案：60°　1　解析：方法一　连接A1D(图略)，则∠PA1D就是的夹角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即所成角的大小为60°，因此＝××cos 60°＝1. 方法二　根据向量的线性运算可得＝(＋)·(＋)＝2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos 〈〉＝1，即cos 〈〉＝，从而〈〉＝60°. 14．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△AC