第1章 课时梯级训练(12) 用空间向量研究夹角问题（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(12)　用空间向量研究夹角问题 1．若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3)，则l与α所成角的余弦值为(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：设α与l所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝＝||＝，故直线l与α所成角的余弦值为＝. 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为(　　) A． B． C． D． A　解析：设棱长为2，以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， A1(0，0，0)，B1(2，0，0)，F(1，0，2)，E(1，2，0)， ＝(1，2，0)， ＝(1，0，2) 设平面A1ECF的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝－2，则y＝1，z＝1，所以n(－2，1，1)， 则平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2，1，1)， ＝(2，0，0)，设A1B1与截面A1ECF所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝||＝，cos θ＝，∴tan θ＝. 3．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD夹角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B　解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝1，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，1)，D(1，0，0)，C(1，1，0).＝(1，0，－1)，＝(0，－1，0)，则平面PAB的法向量为n1＝(1，0，0). 设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，则得令x＝1，则z＝1，∴n2＝(1，0，1)，cos 〈n1，n2〉＝＝，∴平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为， ∴平面PAB与平面PCD夹角的大小为45°. 4．(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AB与CD所成的角为60° C．△ADC为等边三角形 D．AB与平面BCD所成的角为60° ABC　解析：A选项中，如图，取BD中点O，连接AO，CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，故A正确．B选项中，如图建立空间直角坐标系， 设正方形边长为a，则A(a，0，0)，B(0，－a，0)，C(0，0，a)，D(0，a，0)，故＝(－a，－a，0)，＝(0，a，－a)，由两向量夹角公式得cos 〈，〉＝－，故两异面直线所成的角为，故B正确．C中，在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a，解得AC＝AO＝a，所以三角形ADC为等边三角形，故C正确．D中，易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故D错误． 5．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面B B1D1D所成角的正弦值为________． 答案：　解析：如图所示，建立空间直角坐标系． 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，∴＝(－2，0，1).连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，∴平面BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2，2，0).∴所求角的正弦值为＝. 6．若直线l的方向向量a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． 答案：　解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝. 7．如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝. (1)求证：AO⊥平面BCD； (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值． (1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD. 因为BO＝DO，BC＝CD，所以CO⊥BD. 在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝， 而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC. 因为BD∩OC＝O，BD，OC⊂平面BCD，所以AO⊥平面BCD. (2)解：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，1)，＝(1，0，－1)，＝(－1，－，0)，所以cos 〈，〉＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 8．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1. (1)求SC与平面ASD所成角的余弦值； (2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， S(