第1章 课时梯级训练(11) 用空间向量研究距离问题（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(11)　用空间向量研究距离问题 1．已知平面α的一个法向量为n＝(－，，1)，且平面α过原点O，则点M(a，0，a)(a＞0)到平面α的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a D　解析：＝(a，0，a)，故点M到平面α的距离d＝＝＝a. 2．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　解析：因为＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，则在上的投影为＝－＝－4.又||＝，所以AC边上的高BD的长为＝5. 3．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为(　　) A． B． C． D． D　解析：如图，建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M(1，1，)，N(，1，1)，C(0，1，0)， 所以＝(－1，0，1)， ＝(0，1，－1)，＝(－，0，). 因为＝ ，且直线AD1与MN不重合，所以MN∥AD1.又MN⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.所以MN到平面ACD1的距离即为点M到平面ACD1的距离． 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则x＝1，y＝1，可得n＝(1，1，1)为平面ACD1的一个法向量．又＝(0，1，)，所以点M到平面ACD1的距离d＝＝.所以直线MN到平面ACD1的距离为. 4．如图，ABCD­EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　) A． B． C． D． C　解析：如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，可作为x，y，z轴方向上的单位向量，＝＋＋，＝(，，)，＝(1，0，0)，·＝，所以点P到AB的距离d＝＝＝. 5．已知向量n＝(1，0，－1)与直线l垂直，且直线l经过点A(2，3，1)，则点P(4，3，2)到直线l的距离为________． 答案：　解析：＝(－2，0，－1)，因为n与l垂直，所以P到l的距离为||＝＝. 6．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 答案：　解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，所以| ||＝，所以点D1到直线GF的距离为＝. 7．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，求平面AB1D1到平面BDC1的距离． 解：建立空间直角坐标系如图． 则A(a，0，0)，B(a，a，0)，D(0，0，0)，C1(0，a，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)， ∴AD1∥BC1，AB1∥DC1，AD1∩AB1＝A，DC1∩BC1＝C1，AD1，AB1⊂平面AB1D1，DC1，BC1⊂平面BDC1，∴平面AB1D1∥平面BDC1. ∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d. 设n＝(x，y，z)为平面AB1D1的法向量， 得取z＝1，则n＝(1，－1，1). 8．在三棱锥B­ACD中，平面ABD⊥平面ACD，AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD ＝30°，求点D到平面ABC的距离． 解：如图，以AD的中点O为原点，建立空间直角坐标系， 则由题意可知，A(－，0，0)，B(，0，)，C(0，，0)，D(，0，0)， 所以＝(，，0)，＝(，0，)，＝(1，0，0). 设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， 则令y＝－1，则x＝，z＝－3. 所以n＝(，－1，－3)为平面ABC的一个法向量． 所以点D到平面ABC的距离为＝. 9．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A．2 B． C． D． D　解析：因为G在棱A1B1上，A1B1∥EF，A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，即点G到平面D1EF的距离即为点A1到平面D1EF的距离．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，所以＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)， ＝(0，