第1章 课时梯级训练(10) 空间中直线、平面的垂直（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(10)　空间中直线、平面的垂直 1．若直线l的方向向量为a＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u＝(4，0，8)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 B　解析：因为u＝－4a，所以u∥a，即a⊥α，故l⊥α.故选B. 2．(2023·湖北武汉高二检测)设a，b是两条直线，a，b分别为直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 C　解析：由题意可得a，b分别是平面α，β的法向量，所以α⊥β等价于a⊥b，即“α⊥β”是“a⊥b”的充要条件．故选C. 3．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则(　　) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 A　解析：∵a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3. 4．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　) A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角 B　解析：因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥，即AB⊥AP；因为·＝4×(－1)＋ 2×2＋0×(－1)＝0，所以⊥，即AD⊥AP.又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥底面ABCD.故选B. 5．如图，F是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点．若D1F⊥DE，则有(　　) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E与B重合 A　解析：由题意，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)， ＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB，故选A. 6．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A．(1，0，－2) B．(1，0，2) C．(－1，0，2) D．(2，0，－1) C　解析：由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0①.·＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0②，联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2). 7．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________． 答案：垂直　解析：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则P(0，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E(，，)，F(，0，0)，∴＝(0，－，－)，＝(1，1，－1)，＝(0，1，－1)，设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则令y＝1，则x＝0，z＝1，所以平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC. 8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF. 证明：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，F(，，1)，M(，，1). 所以＝(－，－，1)，＝(0，，1)，＝(，－，0). 设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 则n⊥，n⊥， 所以 取y＝1，得x＝1，z＝－，则n＝(1，1，－). 所以n＝－，即n与共线． 所以AM⊥平面BDF. 9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE. 解：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，P